rechengesetze für vektoren

13.10.2014, 16:29	SCB309	Auf diesen Beitrag antworten »
rechengesetze für vektoren Meine Frage: Hallo, ich sitze vor folgender Aufgabe: Zeigen Sie, dass allgemein für drei Vektoren "Vektor a"= (a1a2a3), "Vektor b"= (b1b2b3)und "Vektor c"= (c1c2c3) gilt: a) "Vektor a" * "Vektor b" = "Vektor b" * "Vektor a" b) r * "Vektor a" * "Vektor b" = r * ("Vektor a" * "Vektor b) für jede reelle Zahl r c) ("Vektor a" + "Vektor b") * "Vektor c" = "Vektor a" * "Vektor c" + "Vektor b" * "Vektor c" d) "Vektor a" * "Vektor a" = \|"Vektor a"\|^2 (tschuldigung für die umständliche Schreibweise, aber ich finde keine Rechenzeichen ) Meine Ideen: Ich kann die Aufgabe nur mit Rechenbeispielen lösen. zB zu a) (253)(176) = (176)(253) = (2[35]18) oder zu d) (123)*(123) = \|(123)\|^2 = (1^2 + 2^2 + 3^2) = (149) Aber ich bin mir nicht sicher, ob die Aufgabe damit gelöst ist oder ob nicht vielleicht richtige Erklärungen gemeint sind statt Beispiele..Hat da jemand eine Idee? Danke im Voraus
13.10.2014, 16:41	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Zahlenbeispielen kann man nie etwas beweisen, sondern nur eine falsche Aussage widerlegen. Du musst hier allgemein mittels bekannten Gesetzen arbeiten. Ich mache es bei der ersten Aufgabe mal vor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \underbrace{=}_{Def. Skalarprodukt} a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \underbrace{=}_{Kommutativgesetz} b_1a_1+b_2a_2+b_3a_3 \underbrace{=}_{Def. Skalarprodukt} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.10.2014, 17:20	SCB309	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre dann für c) [(a1a2a3)+(b1b2b3)] * (c1c2c3) = ([a1+b1][a2+b2][a3+b3]) * (c1c2c3) = ([a1c1+b1c1][a2c2+b2c2][a3c3+b3c3]) = ([a1c1][a2c2][a3c3]) + ([b1c1][b2c2][b3c3]) eine Erklärung? Das wäre dann das Distributivgesetz?
13.10.2014, 17:28	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
im Prinzip ja. Man könnte nach dem zweiten Gleichheitszeichen noch einen Zwischenschritt einfügen: ... = ([a1+b1]c1, [a2+b2]c2, [a3+b3]c3) = ... Denn genau nach diesem Schritt wendet man das Distributivgesetz an.
13.10.2014, 17:44	SCB309	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay dankeschön. Bei b) würde ich dann das Assoziativgesetz anwenden: r * (a1a2a3) * (b1b2b3) = (ra1,ra2,ra3)(b1b2b3) = (ra1b1,ra2b2,ra3b3) = r (a1b2,a2b2,a3b3) aber zur d) fällt mir kein Gesetz ein
13.10.2014, 17:48	SCB309	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm meine beim letzten natürlich r * (a1b1,a2b2,a3b3)
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13.10.2014, 17:55	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
benutze folgende Eigenschaft: $\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot \vec{b}=\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b}\| \cdot \cos(\phi ) \end{eqnarray}$
13.10.2014, 18:14	SCB309	Auf diesen Beitrag antworten »
das hatten wir noch nicht.. gibt es vllt noch einen anderen ansatz?

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