Teilsumme alternierende Reihe

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15.10.2014, 17:05	Radiokucker	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilsumme alternierende Reihe Meine Frage: Hallo liebes Matheboard, Ich finde gerade leider nichts passendes, deswegen hoffe ich ihr könnt mir weiterhelfen. Es gibt die Formel zur Berechnung einer Teilsumme einer Reihe : $\begin{eqnarray} s_{n}= \frac{1}{2}n(a_{1}+a_{n}) \end{eqnarray}$ Diese funktioniert für solche Reihen 2+4+6+... Gibt es nun auch eine Formel die das für alternierende Reihen kann?, also für z.B. 1-2+3-4+5... Meine Ideen:* Leider gerade keine konkrete Idee
15.10.2014, 18:09	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Formel kannst du dir selbst herleiten Versuch dazu einmal, die Reihe für die ersten paar Glieder auszurechnen, also 1-2=,1-2+3=,1-2+3-4= etc. Dann sollte dir etwas auffallen Kannst du das in eine allgemeine Form für die Reihe 1-2+3-4+5... bringen? Lg kgV
15.10.2014, 18:20	Radiokucker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erkenne schon die regelmäßigigkeit, ich komme aber einfach nicht auf die Formel. Gibst du mir bitte noch einen Tipp ?
15.10.2014, 18:37	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, wir haben also 1,-1,2,-2,3,-3 usw als Ergebnisse. So weit sollte das klar sein. Einleuchtend ist wohl auch, dass das Ergebnis für gerade Zahlen (als letzten Summanden) jeweils die Hälfte der Zahl mit negativem Vorzeichen ist und für ungerade Zahlen die Hälfte des Nachfolgers mit positivem Vorzeichen. Auf die Schnelle fällt mir als explizite Form aber nur das etwas schwierige $\begin{eqnarray} (-1)^{n+1}\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor \end{eqnarray}$ mit n als Index des Folgengliedes, bis dem summiert wird, ein
15.10.2014, 19:11	Radiokucker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist mir jetzt peinlich(bin erst in der 9.Klasse), aber was sind das für komische klammern in deiner Formel
15.10.2014, 19:17	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind die Gaußklammern. Die bedeuten, dass das, was in den Klammern steht, auf die nächste ganze Zahl abgerundet wird, z.B. $\begin{eqnarray} \lfloor2.3\rfloor=2 \end{eqnarray}$ . Peinlich braucht dir das aber nicht zu sein, die muss man in der 9ten noch nicht kennen Hatte jetzt aber etwas Zeit zum Nachdenken und bin auf eine alternative Darstellung gekommen: $\begin{eqnarray} (-1)^{n+1}\frac{n+0.5+0.5(-1)^{n+1}}{2} \end{eqnarray}$ Die ist vielleicht etwas einfacher zugänglich
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15.10.2014, 19:51	Radiokucker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht ja mal echt gut aus! Könnte man das jetzt auch für die Reihe -1+2-3+4 machen? Ich hab mir das mal angeschaut, ist überall das selbe nur das Vorzeichen ist umgedreht . Reicht es also wenn ich deinen Term also mit -1 multipliziere?
15.10.2014, 19:57	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst auch einfach $\begin{eqnarray} (-1)^{n+1} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ ersetzen
15.10.2014, 20:02	Radiokucker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist mir aufgefallen als ich's ausprobiert habe,ja. Das ergibt sich aus *(-1) eben
15.10.2014, 20:08	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Fall eher aus $\begin{eqnarray} \cdot\frac{1}{-1} \end{eqnarray}$ Aber mit Mal geht es auch
15.10.2014, 20:18	Radiokucker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wenn ich noch was fragen darf: wie würde ich z.b. errechnen können ob das ergbnis einer teilsumme nach einem glied 0 ist ? Müsste ich einfach für s 0 einsetzen und nach n auflösen ?
15.10.2014, 20:28	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep, genau das musst du tun Wird zwar nicht immer ganz einfach sein und du musst die konkrete Bildungsvorschrift der Folge kennen, aber das ist der Weg zu den "Nullstellen"
15.10.2014, 20:30	Radiokucker	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du mir das netterweise anhand irgend eines Beispiels vormachen?
15.10.2014, 20:38	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme jetzt mal die Bildungsvorschrift $\begin{eqnarray} a_n=n^2-10n+21 \end{eqnarray}$ her (der Einfachheit halber). Wir haben hier eine quadratische Folge, das heißt, wir gehen mit der pq-Formel ran und hoffen auf natürliche Nullstellen (bedenke, dass n=3.5 nicht als Lösung in Frage kommt, weil es keine natürliche Zahl ist - diese Folge wird natürlich zwei wunderschöne natürliche Nullstellen haben, weil ich sie so gebaut habe ) Wir setzen also in die Formel ein und bekommen: $\begin{eqnarray} n_{1/2}=-\frac{-10}2\pm\sqrt{\frac{10}2-21}=5\pm\sqrt{25-21}=5\pm2 \end{eqnarray}$ . Damit sind also 3 und 7 die einzigen $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , für die die Folge null wird
15.10.2014, 20:43	Radiokucker	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen dank für diese vielen Antworten und noch einen schönen Abend!
15.10.2014, 20:47	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen schönen Abend gleichfalls

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