Umkehrfunktion bilden

15.10.2014, 21:03

Bmax

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Umkehrfunktion bilden

Hallo Leute!

Ich bräuchte mal eure Hilfe! smile

smile

Ich habe die Aufgabe diese Funktion umzukehren.

$\begin{eqnarray*} g(x)=ln\frac{\sqrt{4x+3} }{\sqrt{3x-2} } \end{eqnarray*}$

So nun kläre ich ja den Definitions- und Wertebereich.
$\begin{eqnarray*} D=R^{>\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W=R \end{eqnarray*}$

oder irre ich mich hier schon?

So nun tausche ich die Variablen und stelle um.
$\begin{eqnarray*} x=ln\frac{\sqrt{4y+3} }{\sqrt{3y-2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow <br /> e^{x}=\frac{\sqrt{4y+3} }{\sqrt{3y-2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow <br /> e^{2x} =\frac{4y+3}{3y-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow <br /> e^{2x}*(3y-2) = 1*(4y+3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow <br /> e^{2x}*3y-2e^{2x} = 4y+3 \end{eqnarray*}$

Ist das bis dort so richtig? Big Laugh

Big Laugh

So nun weiß ich nicht wie ich weiter mache bzw. was ich mit dem $\begin{eqnarray*} e^{2x}*3y<br /> \end{eqnarray*}$ mache

Ich muss natuerlich noch Werte- und Definitionsbereich tauschen.

Danke für eure Hilfe!

15.10.2014, 21:35

Bürgi

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RE: Umkehrfunktion bilden
Guten Abend,

einige Hinweise:

1. Das Argument des Logarithmus darf nicht null werden. Bei welchem x-Wert findest das statt?

2. Wieso soll die Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} D=\left(\frac32 ; \infty \right) \end{eqnarray*}$ sein? (Vielleicht ein Tippfehler?)

3. In der letzten Zeile musst Du alles, was y heißt auf die linke Seite bringen, den Rest auf die rechte Seite. Dann ausklammern und teilen.

EDIT: Überprüfe bitte Deine Berechnung der Wertemenge.

16.10.2014, 20:36

Bmax

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Danke für deine Hinweise! Also ich bin nicht gerade ein Mathe Freak aber ich probiere mich mal.

Zu Hinweis 1

Bei dieser Gleichung kann doch das Argument des Logarithmus niemals 0 sein. Der Zähler im Bruch müsste ja 0 ergeben und wenn das der Fall ist, dann ist ja der Nenner nicht mehr lösbar, da ja keine negative Wurzel gezogen werden kann.

Zu 2.)

Ja es ist ein Tippfehler. Es soll heißen $\begin{eqnarray*} D=\mathbb R^{>\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$ , da ja sonst bei kleineren Werten eine negative Zahl in der Wurzel entsteht und das ja wieder nicht lösbar ist. Alle größeren Werte kann ich ja bedenkenlos einsetzen oder etwa nicht?

Zu 3.)

Ich hatte es ja schon weiter umgestellt aber dann sieht das bei mir so aus.

$\begin{eqnarray*} e^{2x} * 3y-2e^{2x} = 4y+3 <br /> <br /> \Rightarrow e^{2x} * 3y-2e^{2x} -4y =3<br /> <br /> \Rightarrow e^{2x} * 3y-4y = 3+2e^{2x} <br /> <br /> \Rightarrow 3y-4y = \frac{3+2e^{2x} }{e^{2x} } <br /> <br /> \Rightarrow y=-\left(\frac{3+2e^{2x} }{e^{2x} } \right) <br /> \end{eqnarray*}$

Und dort kann ja jetzt etwas nicht richtig sein oder?

Zum EDIT )

Logarithmus hat doch die Wertemenge aller positiven und negativen Zaheln. Also sollte doch die Wertemenge stimmen oder?

17.10.2014, 08:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bmax
Zu Hinweis 1

Bei dieser Gleichung kann doch das Argument des Logarithmus niemals 0 sein. Der Zähler im Bruch müsste ja 0 ergeben und wenn das der Fall ist, dann ist ja der Nenner nicht mehr lösbar, da ja keine negative Wurzel gezogen werden kann.

Prinzipiell mußt du aber auch beachten, daß das Argument der Wurzel im Zähler nicht negativ sein darf. Das ändert in diesem Fall nichts am Definitionsbereich, sollte aber trotzdem untersucht werden.

Zitat:

Original von Bmax
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^{2x} * 3y-4y = 3+2e^{2x} <br /> <br /> \Rightarrow 3y-4y = \frac{3+2e^{2x} }{e^{2x} } \end{eqnarray*}$

Hier machst du eine unzulässige Umformung. Besser: klammere in der oberen Gleichung das y aus. smile

smile

Zitat:

Original von Bmax
Logarithmus hat doch die Wertemenge aller positiven und negativen Zaheln. Also sollte doch die Wertemenge stimmen oder?

Nun ja, das hängt auch davon ab, welche Werte das Argument des Logarithmus durchläuft. Dazu solltest du dir noch ein paar Gedanken machen.

20.10.2014, 17:52

Bmax

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Also wenn ich das jetzt richtig verstehe soll ich für Zähler und Nenner einen extra Definitionsbereich erstellen und die dann vergleichen?

$\begin{eqnarray*} ln(...) \Rightarrow D=\mathbb R^{>0} <br /> <br /> \sqrt{4x+3}\Rightarrow D=\mathbb R^{>-\frac{3}{4} } <br /> <br /> \sqrt{3x-2}\Rightarrow D=\mathbb R^{>\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

Nun habe ich alle untersucht und sehe, dass >2/3 richtig ist.

Zitat:

Hier machst du eine unzulässige Umformung. Besser: klammere in der oberen Gleichung das y aus. smile

Daher das ich im Umstellen, Ausklammern usw. eine totale Niete bin, denke ich mal wird das auch noch nicht der Richtigkeit entsprechen.

$\begin{eqnarray*} e^{2x}*3y-4y=3+2e^{2x} <br /> <br /> 3y(e^{2x} -\frac{4}{3})=3+2e^{2x} <br /> <br /> 3y=\frac{3+2e^{2x} }{e^{2x}-\frac{4}{3} } <br /> <br /> y=\frac{3+e^{2x} }{-\frac{4}{9} } \end{eqnarray*}$

Und bei der Wertemenge verstehe ich gar nicht wie ich bei dieser Gleichung eine spezielle Menge eingrenzen soll. Das Argument kann doch von 0 bis unendlich alle Werte annehmen. verwirrt

verwirrt

20.10.2014, 19:02

Bürgi

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Guten Abend,
klarsoweit hatte Dir empfohlen, die Variable y (und nur die Variable y) auszuklammern.

$\begin{eqnarray*} e^{2x}*3y-4y=3+2e^{2x} \\ \implies~ y(3 e^{2x}-4)=3+2 e^{2x} \end{eqnarray*}$

Und jetzt durch die Klammer teilen. Damit sparst Du Dir eine Menge komplizierte (und fehleranfällige) Bruchrechnung. Bei Deiner Umformung ist der letzte Schritt fast schon ein Verbrechen geschockt

geschockt

Du hast die Definitionsmenge richtig bestimmt.

Der Quotient
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{4x+3} }{\sqrt{3x-2} } > 1\ \text{für}\ x > \frac23 \end{eqnarray*}$

und damit sind die Funktionswerte größer als null.

Was passiert aber mit dem Quotienten, wenn x sehr groß wird? Was bedeutet das für die Funktionswerte?

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20.10.2014, 20:51

Bmax

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Ok also dank deinem Hinweis mit den großen Zahlen sehe ich jetzt das die Argumente im vom Logarithmus gegen 1 gehen und nicht drunter.

also entstehen keine negativen Zahlen und der Wertebereich ist $\begin{eqnarray*} W=\mathbb R^{>0} \end{eqnarray*}$ ?

So nun tausche ich Definitions- uns Wertebereich.

$\begin{eqnarray*} D(f^{-1})=R^{>0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W(f^{-1})=R^{>\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

Nun sehe ich das der Wertebereich in der Umkehrfunktion stimmt, aber der Definitionsbereich nicht, weil ich doch x-Werte unter 0 einsetzen darf.

20.10.2014, 21:04

Dopap

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RE: Umkehrfunktion bilden

Zitat:

Original von Bmax

Ich habe die Aufgabe diese Funktion umzukehren.

$\begin{eqnarray*} g(x)=ln\frac{\sqrt{4x+3} }{\sqrt{3x-2} } \end{eqnarray*}$

Da macht es sich jemand einfach. Zu einer Funktion fehlt die Definitionsmenge unglücklich

unglücklich

21.10.2014, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bmax
Ok also dank deinem Hinweis mit den großen Zahlen sehe ich jetzt das die Argumente im vom Logarithmus gegen 1 gehen und nicht drunter.

Ich sehe was anderes:

Gegen welchen Wert läuft denn $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{3x-2}} \end{eqnarray*}$ für x gegen unendlich?

21.10.2014, 19:48

Bmax

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Ok also wenn ich genau schaue geht der Wert vom Bruch gegen 1,15...., aber dieser Wert ändert sich doch trotzdem noch minimal wenn die Zahlen immer größer werden oder nicht?

Wie kann ich denn jetzt eine genaue Wertemenge angeben?

22.10.2014, 08:31

Bürgi

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Guten Morgen,

der erste Schritt besteht darin, herauszufinden gegen welchen Wert das Argument der Logarithmusfunktion geht, wenn x gegen unendlich geht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{3x-2}} \right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{4+\frac3x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{3-\frac2x}} \right) = ? \end{eqnarray*}$

Wie groß ist der Grenzwert?
Wie groß ist dann der Logarithmus?
Was bedeutet das für den Wertebereich der Funktion?

22.10.2014, 09:42

Bmax

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Der Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{4} }{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

Der Logarithmus beträgt bei diesem Wert 0.14....

Also ist mein Wertebereich $\begin{eqnarray*} W=R^{>1,14} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

22.10.2014, 10:59

klarsoweit

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Nun ja, ich würde die exakte Angabe $\begin{eqnarray*} W = \{x \in \mathbb R | x > ln(\sqrt{4/3}) \} \end{eqnarray*}$ bevorzugen. smile

smile

22.10.2014, 15:54

Bmax

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Ok ich bedanke mich bei euch ihr seit super! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur stellt sich mir noch eine Frage. Wenn ich jetzt den Wertebereich mit dem Definitionsbereich tausche, dann heißt es das ich in der Umkehrfunktion keine Werte unter $\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{4/3}) \end{eqnarray*}$ für x einsetzen darf.
Wenn ich aber will kann ich dort jetzt auch tiefere Zahlen einsetzen.
Ist das dann egal?

22.10.2014, 21:19

Bürgi

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Guten Abend,
in dieser Skizze ist der rote Graph die Logarithmusfunktion, der blaue gehört zur Umkehrfunktion:
[attach]35804[/attach]

Zitat:

Wenn ich aber will kann ich dort jetzt auch tiefere Zahlen einsetzen. Ist das dann egal?

Verstehe ich nicht. Du kannst doch keine Werte einsetzen, die gar nicht im Definitionsbereich vorkommen. verwirrt

verwirrt

23.10.2014, 08:44

klarsoweit

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Sehen wir uns mal die Umkehrfunktion, die ja bislang noch nirgends explizit aufgeschrieben wurde, an: $\begin{eqnarray*} y = \frac{3+2e^{2x} }{3e^{2x} - 4} \end{eqnarray*}$

Prinzipiell (da hat Bmax gewissermaßen recht) kann man dort auch Werte kleiner als $\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{4/3}) \end{eqnarray*}$ einsetzen. Das ist dann aber eine Funktion, die nicht die Umkehrfunktion der ursprünglichen Funktion darstellt. smile

smile

23.10.2014, 09:44

HAL 9000

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Schreibt man $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ um in

$\begin{align*} \tilde{g}(x) = \frac{1}{2}\ln\frac{4x+3}{3x-2} \end{align*}$

dann ist der Term rechts nicht nur für $\begin{align*} x>\frac{2}{3} \end{align*}$ , sondern zusätzlich auch noch für $\begin{align*} x<-\frac{3}{4} \end{align*}$ definiert.

Dieser linke Zweig gehört wohlgemerkt nur zu $\begin{align*} \tilde{g} \end{align*}$ , aber nicht zu $\begin{align*} g \end{align*}$ . In dieser Weise interpretiert ist

$\begin{align*} \tilde{g}^{-1}(x) = \frac{3+2e^{2x} }{3e^{2x} - 4} \end{align*}$ für $\begin{align*} x\neq \frac{1}{2}\ln\frac{4}{3} \end{align*}$

die Umkehrfunktion dieser (im DB erweiterten) Funktion $\begin{align*} \tilde{g} \end{align*}$

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