Eigenschaften p-norm

15.10.2014, 22:43

evinda

Eigenschaften p-norm

Hallo!!!!

Eine p- norm von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}_p \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} ||_p: \mathbb{Q}_p \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \neq 0, x=p^{w_p(x)}u \mapsto p^{-w_p(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Wenn } x=0 \Leftrightarrow w_p(x)=\infty \\ p^{-\infty}:=0 \end{eqnarray*}$

Zwei Eigenschaften der p-norm sind die folgenden:

- $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p=\{ x \in \mathbb{Q}_p | |x|_p \leq 1 \} \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{p}^*=\{ x \in \mathbb{Z}_p | |x|_p=1 \} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich diese zwei Eigenschaften beweisen? verwirrt

16.10.2014, 01:31

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Eine p- norm

Gibt es denn mehrere von der Sorte?

Zitat:

Wie kann ich diese zwei Eigenschaften beweisen?

Mengengleichheit A=B zeigt man gemeinhin in dem man zeigt dass A in B liegt und B in A.

16.10.2014, 14:20

evinda

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Um die erste Eigenschaft zu beweisen habe ich folgendes versucht:

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ Also $\begin{eqnarray*} x \in \{0,1,2,...,p-1\} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x=\frac{x}{1}, 1,x\in \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} |x|_p=1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} |x|_p=0 \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} |x|_p \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Das heisst dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}\subset \{x\in \mathbb{Q}| |x|_p\leq 1\} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x \in \{x \in \mathbb{Q}| |x|_p\leq 1\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Q}\Rightarrow x=\frac{r}{s}, r, s \in \mathbb{Z}_p, s\neq o \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|_p\leq 1 \Rightarrow |r|_p \leq |s|_p \end{eqnarray*}$

Wie kann ich weiter machen?

16.10.2014, 14:26

tmo

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Zitat:

Original von evinda
Um die erste Eigenschaft zu beweisen habe ich folgendes versucht:

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ Also $\begin{eqnarray*} x \in \{0,1,2,...,p-1\} \end{eqnarray*}$ .

Autsch...

Denke noch mal drüber nach.

Generell bietet es sich hier an, die Bedingungen an die Norm erst in die entsprechenden Bedingungen für die p-adische Valuation umzurechnen. Und dann ist die Sache eigentlich direkt klar.

Elemente aus $\begin{align*} \mathbb Q_p \end{align*}$ solltest du (wie in der Aufgabenstellung auch getan) in der Form $\begin{align*} p^nu \end{align*}$ darstellen.

16.10.2014, 19:38

evinda

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Autsch...

Ich habe es nochmal versucht:

Wenn $\begin{eqnarray*} x \in Z_p \end{eqnarray*}$ , haben wir, dass :
$\begin{eqnarray*} x=a_0+a_1p+a_2p^2+ \dots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_j \in \{0,1, \dots, p-1 \} \end{eqnarray*}$

Sodass $\begin{eqnarray*} x \in Q_p: x=\frac{r}{s}, r,s \in Z_p, s \neq 0 \Rightarrow x=\frac{b_0+b_1 p+b_2 p^2+ \dots}{c_0+c_1p+c_2p^2+ \dots} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=a_0+a_1p+a_2p^2+ \dots=\frac{a_0+a_1p+a_2p^2+ \dots}{1} \end{eqnarray*}$

Also, $\begin{eqnarray*} x \in Q_p \end{eqnarray*}$ .

Ist es bisher richtig? Wie kann ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |x|_p \leq 1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

16.10.2014, 21:09

Captain Kirk

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Zitat:

Sodass $\begin{eqnarray*} x \in Q_p:} \end{eqnarray*}$ [...]Also, $\begin{eqnarray*} x \in Q_p \end{eqnarray*}$ .

ich verstehe nicht wirklich was du dazwischen machst, aber es sieht stark nach einem Zirkelschluss aus.
Und deine Darstellung p-adischer Zahlen ist zwar nicht falsch, aber irgendwo zwischen unnütz und irreführend.
Hensel hat die p-adischen Zahlen als Analogon zu Laurentreihen entwickelt.
Eine p-adische Zahl lässt sich darstellen als $\begin{eqnarray*} \sum_{n=k}^\infty a_k p^k \end{eqnarray*}$ , mit k eine Zahl.
Und an der Darstellung kann man dann auch leicht das w(p) ablesen.

Wie habt ihr den p-adische Zahlen eingeführt?
Es gibt mehrere Möglichkeiten das zu tun.

16.10.2014, 22:21

evinda

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Sodass $\begin{eqnarray*} x \in Q_p:} \end{eqnarray*}$ [...]Also, $\begin{eqnarray*} x \in Q_p \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} x \in Z_p \Rightarrow x=\sum_{k=0}^\infty a_k p^k \end{eqnarray*}$ .

Wir wollen zeigen dass $\begin{eqnarray*} x \in Q_p \text{ und } |x|_p \leq 1 \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Gilt dass $\begin{eqnarray*} y \in Q_p \Rightarrow y=\frac{\sum a_i p^i}{\sum b_jp^j} \end{eqnarray*}$ ?

Also muss ich zeigen dass $\begin{eqnarray*} x=\sum_{k=0}^\infty a_k p^k \end{eqnarray*}$ in dieser Form geschrieben werden kann?

Oder wie kann ich das beweisen?

Zitat:

Original von Captain Kirk
Wie habt ihr den p-adische Zahlen eingeführt?
Es gibt mehrere Möglichkeiten das zu tun.

Wir haben die p-adische Zahlen so definiert:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p= \{ (\overline{x_n})_{n \in \mathbb{N}_0} \in \Pi_{n=0}^{\infty} \frac{\mathbb{Z}}{p^{n+1} \mathbb{Z}} | x_{n+1} \equiv x_n \pmod {p^{n+1}} \} \end{eqnarray*}$

16.10.2014, 22:35

Captain Kirk

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Zitat:

Wir wollen zeigen dass $\begin{eqnarray*} x \in Q_p \text{ und } |x|_p \leq 1 \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Keine Ahnung was du eigentlich zeigen willst,
aber der erste Halbsatz ist nicht mal annähernd ein Problem;
Abhängig davon wie ihr die p-adischen Zahlen definiert habt (was leider immer noch nicht geklärt ist...)
So wie du hier schreibst ist wohl $\begin{eqnarray*} \mathbb Q _p =Quot (\mathbb Z_p) \end{eqnarray*}$ , und nach kanonischer Konstruktion des Quot.körpers ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge (beziehungsweise kanonisch zu einer isomorph)

Zitat:

Wir haben die p-adische Zahlen so definiert: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p= \{ (\overline{x_n})_{n \in \mathbb{N}_0} \in \Pi_{n=0}^{\infty} \frac{\mathbb{Z}}{p^{n+1} \mathbb{Z}} | x_{n+1} \equiv x_n \pmod {p^{n+1}} \} \end{eqnarray*}$

Das ist eine Definition der p-adischen ganzen Zahlen.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$ ist der Körper der p-adischen Zahlen.

Und wieso verwndest du hier ständig eine andere Darstellung p-adische Zahlen?

Zitat:

Oder wie kann ich das beweisen?

Du musst zu aller erst mal die Definitionen der hier betrachteten Objekte sauber aufschreiben.

17.10.2014, 20:17

evinda

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Wir wollen zeigen dass $\begin{eqnarray*} x \in Q_p \text{ und } |x|_p \leq 1 \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Zitat:

Wir haben die p-adische Zahlen so definiert: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p= \{ (\overline{x_n})_{n \in \mathbb{N}_0} \in \Pi_{n=0}^{\infty} \frac{\mathbb{Z}}{p^{n+1} \mathbb{Z}} | x_{n+1} \equiv x_n \pmod {p^{n+1}} \} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Oder wie kann ich das beweisen?

Du musst zu aller erst mal die Definitionen der hier betrachteten Objekte sauber aufschreiben.

Wir haben im Unterricht nur die Definition der p-adischen ganzen Zahlen und die des Körpers der p-adischen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$ gesehen.

Könntest du mir ein Tipp geben, was ich machen könnte um die Gleichung der Mengen zu zeigen? Erstaunt1

17.10.2014, 20:25

Captain Kirk

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Zitat:

im Unterricht

macht man sowas jetzt schon in der Schule? Das würde hier einiges erklären.

Zitat:

Ja, und zwar tu das wonach ich jetzt schon zum wiederholten mal gefragt hab:
Teil mir doch bitte mit welche Definitionen ihr gemacht habt.

17.10.2014, 21:19

Captain Kirk

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onlinemathe.de/forum/Eigenschaften-beweisen

irgendwie sieht mir das verdammt nach dir aus.
Und surprise, surprise dir wird genau das selbe erzählt:
Ohne Def. kein Beweis.

Ah und jetzt hast du sie sogar gefunden.

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