Logik-Aussagen

16.10.2014, 20:17

winki2008

Logik-Aussagen

Hallo.

Bräuchte bitte wieder Hilfe im Themengebiet Logik.

Zu Frage 13 habe ich folgende Ergebnisse:

a) falsch
weil der binäre Logarithmus von natürlichen geraden Zahlen der Bauart $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ stets wieder eine natürliche Zahl ergibt, bei allen anderen geraden natürlichen Zahlen wie z.B. 6,10...ist der binäre Logarithmus eine irrationale Lösung....also ist der binäre Logarithmus von allen geraden, natürlichen Zahl nicht immer irrational

b) richtig
Beweis: Annahme das Ergebnis des Logarithmus der ungeraden, natürlichen Zahl k sei rational!
$\begin{eqnarray*} x=\log_2(k) \Leftrightarrow 2^{x} = k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x:=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{\frac{p}{q} } = k<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{p} =k^{q} \end{eqnarray*}$

k sei eine ungerade, natürliche Zahl....

Widerspruch, den jede ungerade, natürliche Zahl potenziert ergibt wieder eine ungerade Zahl....2^{p} aber stets eine gerade Zahl.....daher ist ln(k) immer irrational, wenn k eine ungerade (ausgenommen 1), natürliche Zahl ist.

c)falsch
reicht nicht aus, da z.B. $\begin{eqnarray*} log_2(8)=3 \end{eqnarray*}$ ist und nicht irrational

d)richtig
es ist hinreichend, dass jeder Logarithmus einer ungeraden (ausgenommen 1),natürlichen Zahl ist irrational. z.B.: $\begin{eqnarray*} log_2(3) \end{eqnarray*}$

e)falsch
es ist nicht notwendig, dass k eine gerade, natürliche Zahl sein muss, damit das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} log_2(k) \end{eqnarray*}$ irrational ist.

f)falsch
es ist auch nicht notwendig das k eine ungerade, natürliche Zahl sein muss um eine irrationales Ergebnis hervorzurufen: z.B: $\begin{eqnarray*} log_2(6) \end{eqnarray*}$

Stimmen meine Aussagen, ich muss das dann ohnehin noch mathematisch formulieren für Frage 15

[attach]35726[/attach]

17.10.2014, 15:02

winki2008

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Ich habe jetzt die Aussagen in mathematische Formel verfasst. Kann mir vl. hier wer beantworten ob sie stimmen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb N g:=\forall n\in \mathbb N : (2n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb N g=\left\{ 2,4,6,8,... \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb N ug:=\forall n\in \mathbb N : (2n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb Nug=\left\{3,5,7,9,... \right\} \end{eqnarray*}$

13 a) $\begin{eqnarray*} \forall k\in \mathbb N g:\log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$

falsche Aussage

13b) $\begin{eqnarray*} \forall k\in \mathbb N ug:\log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$

wahre Aussage

13c) $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N g \Rightarrow \log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$

falsche Aussage

13d) $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N ug \Rightarrow \log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$

wahre Aussage

13e) $\begin{eqnarray*} log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \Rightarrow k\in \mathbb N g \end{eqnarray*}$

falsche Aussage

13 f) $\begin{eqnarray*} log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \Rightarrow k\in \mathbb N ug \end{eqnarray*}$

falsche Aussage

ich glaube bei 13c) 13d) kann man noch etwas mit Quantoren ergänzen

Danke

19.10.2014, 20:44

Stephan Kulla

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RE: Logik-Aussagen
Hier meine Korrektur:

Zitat:

Original von winki2008
a) falsch
weil der binäre Logarithmus von natürlichen geraden Zahlen der Bauart $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ stets wieder eine natürliche Zahl ergibt, bei allen anderen geraden natürlichen Zahlen wie z.B. 6,10...ist der binäre Logarithmus eine irrationale Lösung....also ist der binäre Logarithmus von allen geraden, natürlichen Zahl nicht immer irrational

Passt.

Zitat:

b) richtig
Beweis: Annahme das Ergebnis des Logarithmus der ungeraden, natürlichen Zahl k sei rational!
$\begin{eqnarray*} x=\log_2(k) \Leftrightarrow 2^{x} = k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x:=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{\frac{p}{q} } = k<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{p} =k^{q} \end{eqnarray*}$

k sei eine ungerade, natürliche Zahl....

Widerspruch, den jede ungerade, natürliche Zahl potenziert ergibt wieder eine ungerade Zahl....2^{p} aber stets eine gerade Zahl.....daher ist ln(k) immer irrational, wenn k eine ungerade (ausgenommen 1), natürliche Zahl ist.

Passt.

Zitat:

c)falsch
reicht nicht aus, da z.B. $\begin{eqnarray*} log_2(8)=3 \end{eqnarray*}$ ist und nicht irrational

Passt.

Zitat:

d)richtig
es ist hinreichend, dass jeder Logarithmus einer ungeraden (ausgenommen 1),natürlichen Zahl ist irrational. z.B.: $\begin{eqnarray*} log_2(3) \end{eqnarray*}$

Passt (Begründung wie in (b) )

Zitat:

e)falsch
es ist nicht notwendig, dass k eine gerade, natürliche Zahl sein muss, damit das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} log_2(k) \end{eqnarray*}$ irrational ist.

Ergebnis richtig. Begründung muss aber verbessert werden. Warum ist es so?

Zitat:

f)falsch
es ist auch nicht notwendig das k eine ungerade, natürliche Zahl sein muss um eine irrationales Ergebnis hervorzurufen: z.B: $\begin{eqnarray*} log_2(6) \end{eqnarray*}$

Passt;

Zitat:

Original von winki2008
$\begin{eqnarray*} \mathbb N g:=\forall n\in \mathbb N : (2n) \end{eqnarray*}$

Falsche Schreibweise. Schreibe $\begin{eqnarray*} \mathbb Ng = \{ 2n: n \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ . (Erklärung siehe beschreibende Mengenschreibweise oder ggf. nachfragen).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb N ug:=\forall n\in \mathbb N : (2n+1) \end{eqnarray*}$

Selbes Problem mit der Mengenschreibweise...

Zitat:

13 a) $\begin{eqnarray*} \forall k\in \mathbb N g:\log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Richitg

Alternativlösung: $\begin{eqnarray*} \forall k \in \mathbb N: (k \text{ gerade} \Rightarrow \log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q) \end{eqnarray*}$ Diese Lösung ist näher an dem, was die meisten Mathematiker schreiben würden. Deine Lösung ist aber auch richtig (und einfacher in der Negation)

Zitat:

13b) $\begin{eqnarray*} \forall k\in \mathbb N ug:\log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Richtig

Zitat:

13c) $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N g \Rightarrow \log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Fast: Quantor für k fehlt (wie du ja bereits geschrieben hast). Also:

$\begin{eqnarray*} \forall k: (k\in \mathbb N g \Rightarrow \log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q) \end{eqnarray*}$

Zitat:

13d) $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N ug \Rightarrow \log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$
13e) $\begin{eqnarray*} log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \Rightarrow k\in \mathbb N g \end{eqnarray*}$
13 f) $\begin{eqnarray*} log_2 (k) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \Rightarrow k\in \mathbb N ug \end{eqnarray*}$

Dasselbe Problem mit den fehlenden Allquantor...

Edit: Doppelposts zusammengeführt. LG Iorek

20.10.2014, 17:53

winki2008

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Danke für deine Antwort und für das Auskorrigieren, ich denke den Rest bekomme ich jetzt alleine hin.

PS: Ich bin froh, dass es so Interessenvertretungen gibt wie dich, sonst wäre dieser Forum wie viele andere Mathe Foren.

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