Beweis verkette Funktion

17.10.2014, 22:23	Sunny888	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis verkette Funktion Meine Frage: Hallo, ich soll folgendes beweisen: Seien $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ Mengen und $\begin{eqnarray} f:A\Rightarrow B, g:B\Rightarrow C \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ injektiv ist, und f surjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ g ist injektiv. Meine Ideen: Ich habe den Beweis folgendermaßen strukturiert: Da f surjektiv ist existieren $\begin{eqnarray} b_{1},b_{2} \in B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a_{1})=b_{1} ;f(a_{2})=b_{2} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} f \circ g \end{eqnarray}$ injektiv ist gilt: $\begin{eqnarray} g(f(a_{1}))=g(f(a_{2}))\Rightarrow a_{1}=a_{2} \Rightarrow f(a_{1})=f(a_{2})=b_{1}=b_{2}\Rightarrow g(b_{1})=g(b_{2}) \end{eqnarray}$ Ist der Beweis so schlüssig und legitim? Danke für eure Hilfe
17.10.2014, 22:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis verkette Funktion Damit ist leider gar nichts gezeigt. Du nimmst dir beliebige b_1 und b_2, gehst von g(b_1)=g(b_2) aus und folgerst, dass g(b_1)=g(b_2) ist. Überlege zuerst, was eigentlich zu zeigen ist. Edit: Damit wir uns nicht falsch verstehen: Ich denke, du bist da auf dem richtigen Weg, musst das aber noch sortieren.
17.10.2014, 23:15	Sunny888	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich weiß wo der Fehler liegt: Nur weil gilt $\begin{eqnarray} b_{1}=b_{2} \Rightarrow g(b_{1})=g(b_{2}) \end{eqnarray}$ muss der Umkehrschluss aber nicht gelten, der ja nötig ist um Injektivität zu beweisen. Eine Idee habe ich dann aber nicht.
17.10.2014, 23:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, zu zeigen ist also: Wenn $\begin{eqnarray} g(b_1)=g(b_2) \end{eqnarray}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray} b_1=b_2 \end{eqnarray}$ . Du hast doch vorhin schon gut angefangen: f ist surjektiv, also..
17.10.2014, 23:38	Sunny888	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dann gilt: $\begin{eqnarray} f(a_{1})=b_{1} und f(a_{2})=b_{2} \end{eqnarray}$ Weil die Verkettung injektiv ist und f eben surjektiv gilt: $\begin{eqnarray} g(b_{1})=g({b_{2}) \end{eqnarray}$ Jetzt aber zu beweisen das $\begin{eqnarray} b_{1}=b_{2} \end{eqnarray}$ fällt mir schwer.
17.10.2014, 23:41	Sunny888	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} g(b_{1})=g(b_{2}) \end{eqnarray}$ Meinte ich natürlich
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17.10.2014, 23:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
setze $\begin{eqnarray} f(a_{1})=b_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(a_{2})=b_{2} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} g(b_1)=g(b_2) \end{eqnarray}$ ein Edit: Dass $\begin{eqnarray} g(b_{1})=g(b_{2}) \end{eqnarray}$ gilt, haben wir vorausgesetzt!
18.10.2014, 00:09	Sunny888	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ok dann setzt man für b1 f(a1) und für b2 f(a2) ein kommt zu: g(f(a1))=g(f(a2)). Da jetzt die Verknüpfung injektiv ist folgt daraus a1=a2
18.10.2014, 00:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt noch schnell $\begin{eqnarray} b_1=b_2 \end{eqnarray}$ gefolgert und fertig

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