Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Mann Krebs hat

18.10.2014, 13:37

JennyS

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Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Mann Krebs hat

Aufgabe: Der PSA-Level werden oft bei Prostatakrebs gemessen. Allerdings ist der Test nur ein Indikator, kein sicherer Hinweis. Bei einem gesunden Mann beträgt Wahrscheinlichkeit auf einen erhöhten Level 0.135 und bei einem erkrannten 0.268. Wenn sich ein Arzt zu 70% sicher ist, dass ein Mann Krebs hat, wie hoch ist dann die Wahrscheinlicjkeit, dass a) ein erhöhter und b) ein nicht erhöhter Level vorliegt?

Meine Idee: Ich hätte jetzt einfach die Wahrscheinlichkeit von 0.7 mit den beiden Fällen (0.135 und 0.268) multipliziert, allerdings erhalte ich hierbei nicht die richtigen Ergebnisse.

Ich dacht man könnte hier ein Baumdiagramm nutzten, aber dem scheind wohl nicht so.

Hat jemand einen Tipp für mich?

18.10.2014, 20:06

JennyS

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Müsste ich für a) nicht $\begin{eqnarray*} P(0.7|0.268)=\frac{P(0.7\cap 0.268)}{P(0.268)} \end{eqnarray*}$
berechnen? Nur wie berechne ich $\begin{eqnarray*} P(0.7\cap 0.268) \end{eqnarray*}$ ?

18.10.2014, 20:41

HAL 9000

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Ereignisse kann man schneiden, aber nicht reelle Zahlen. unglücklich

unglücklich

Siehe diesen Kommentar zu derlei unmöglichen symbolischen Gewurstel.

18.10.2014, 20:48

JennyS

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ereignisse kann man schneiden, aber nicht reelle Zahlen. unglücklich

unglücklich

Siehe zu derlei unmöglichen symbolischen Gewurstel.

Ok ich gebe dir recht, dass hier einiges durcheinander geworfen ist.
Das Ereigniss A ist hier: Mann hat Krebs, wofür dann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll, also P(A)=...Unter a) Wahrscheinlichkeit wenn der PSA-Level erhöht ist und unter b) wenn er nicht erhöht ist.

18.10.2014, 21:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von JennyS
Das Ereigniss A ist hier: Mann hat Krebs,

Ok, und dann ist hier noch ein zweites Ereignis von Interesse:

$\begin{align*} B \end{align*}$ ... der PSA-Level des Mannes ist erhöht.

Zitat:

Original von JennyS
wofür dann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll, also P(A)=...

Nein, $\begin{align*} P(A) \end{align*}$ ist hier sogar bereits gegeben. Gesucht sind hier $\begin{align*} P(B) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} P(B^c) \end{align*}$ - so würde ich die Formulierung zumindest deuten.

18.10.2014, 21:21

JennyS

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Irgendwie finde ich das ist manchmal Ansichstsache. Ich lese aus der Aufgabe, dass sich der Arzt zu 70% sicher ist, dass Krebs vorliegt. P(B) ist 0.268 (Wahrscheinlichkeit, dass erkrankter Mann erhöhten Wert hat). P(C) ist 0.135 (Wahrscheinlichkeit, dass gesunder Mann erhöhten Wert hat) Jetzt soll die Wahrscheinlichkeit auf Krebs bestimmt werden wenn sich der Arzt eben zu 70% sicher ist dass Krebs vorliegt und a) ein erhöhter und b) ein nicht erhöhter Wert vorliegt.

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18.10.2014, 21:28

HAL 9000

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Nein, es sind $\begin{align*} P(A)=0.7 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} P(B \mid A^c) = 0.135 \end{align*}$ und $\begin{align*} P(B \mid A) = 0.268 \end{align*}$ gegeben.

Da nützt auch ein Baumdiagramm nichts - vorher kommt das Verstehen und Intepretieren der Aufgabenstellung.

18.10.2014, 21:40

JennyS

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nein, es sind $\begin{align*} P(A)=0.7 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} P(B \mid A^c) = 0.135 \end{align*}$ und $\begin{align*} P(B \mid A) = 0.268 \end{align*}$ gegeben.

Da nützt auch ein Baumdiagramm nichts - vorher kommt das Verstehen und Intepretieren der Aufgabenstellung.

Ja die Dinge sind gegeben. Ich will mich auch nicht über die Aufgabenstellung streiten.
Jetzt müsste laut meinen Untelagen P(B) = P(B|A)*P(A)+P(B|A')*P(A') gelten was für P(B) = 0.268*0.7 + 0.135*0.3 = 0.2281 ergibt, was aber laut der Lösung nicht stimmt.

18.10.2014, 21:44

HAL 9000

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Tja, dann verstehe ich es auch nicht. Und anscheinend willst du ja auch nicht verraten, was angeblich richtig sein soll.

18.10.2014, 21:50

JennyS

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Zitat:

Original von HAL 9000
Tja, dann verstehe ich es auch nicht. Und anscheinend willst du ja auch nicht verraten, was angeblich richtig sein soll.

Die ursprüngliche Beschreibung ist falsch. Meine Beschreibung im viert letzten Post ist richtig.

Die Wahrsch. eines nicht an Krebs errannkten man auf einen erhöhten PSA-Level steht bei 0.135 und steigt für einen erkrankten Mann auf 0.268 an. Ist sich ein Arzt bei einem Mann nun zu 70% sicher, dass dieser Krebs hat, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit auf Krebs, wenn a) ein erhöhter PSA-Wert vorliegt und b) ein nicht erhöhter Wert vorliegt.

18.10.2014, 21:55

HAL 9000

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Zwei Threads habe ich heute abend angeschaut - in beiden waren die Leute unfähig, die Aufgabenstellung richtig wiederzugeben. Bei soviel (eigenschädlicher) Sabotage reicht's mir für heute. Finger2

Finger2

18.10.2014, 22:06

JennyS

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Sorry ich wollte dich nicht verärgern unglücklich

unglücklich

.

18.10.2014, 22:48

Dopap

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ich habe früher manchmal auf diese Fragen gepostet, aber dann eingestellt:

1.) bin ich kein Experte auf dem Gebiet, und schwerwiegender:

2.) Die Aufgaben sind - und da muss ich HAL zu 100% recht geben - oft unterirdisch gestellt, und so ist es kein Wunder, dass mich die Eingangsfrage ratlos zurückließ.

Vorschlag: K=der Mann hat Krebs und L=erhöhter Level. Das liest sich leichter.

Und : "viertletzte Post" ist leider eine relative Angabe.

Poste doch jetzt deine korrekte Aufgabe nochmals .

18.10.2014, 22:54

JennyS

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So ist die korrekte Beschreibung:
Die Wahrsch. eines nicht an Krebs erkrankten man auf einen erhöhten PSA-Level steht bei 0.135 und steigt für einen erkrankten Mann auf 0.268 an. Ist sich ein Arzt bei einem Mann nun zu 70% sicher, dass dieser Krebs hat, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit auf Krebs, wenn a) ein erhöhter PSA-Wert vorliegt und b) ein nicht erhöhter Wert vorliegt.

18.10.2014, 23:13

Dopap

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Zitat:

Original von JennyS
[...] Ist sich ein Arzt bei einem Mann nun zu 70% sicher, dass dieser Krebs hat[...]

und da geht es schon los : woher weiß er das verwirrt

verwirrt

18.10.2014, 23:27

JennyS

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Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Original von JennyS
[...] Ist sich ein Arzt bei einem Mann nun zu 70% sicher, dass dieser Krebs hat[...]

und da geht es schon los : woher weiß er das verwirrt

verwirrt

Er weis es eben nicht sondern vermutet. (Eventuell auch auf Grund anderer Faktoren, dies sei dahingestellt). Wenn er es wüsste wäre die Wahrscheinlichkeit bei 100%

18.10.2014, 23:32

Dopap

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und hier mal eine korrekte Aufgabe zum Thema:

Angenommen es gibt einen ziemlich zuverlässigen Test zur Krebsdiagnose.
Bei Krebs liefert er mit 96% Sicherheit ein positives Ergebnis.
Hat man keinen Krebs, dann ist der Test mit 94% negativ.

Mein Test ist positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich tatsächlich Krebs , wenn 0.69% aller Personen meines Alters Krebs haben ohne es zu wissen ?

merkst du den qualitativen Unterschied ?

19.10.2014, 09:21

HAL 9000

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In Ergänzung zu meinen beiden Posts gestern 21:11 und 21:28 (und nochmal rekapituliert: Gegeben sind $\begin{align*} P(A)=0.7 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} P(B \mid A^c) = 0.135 \end{align*}$ und $\begin{align*} P(B \mid A) = 0.268 \end{align*}$ ):

Zitat:

Original von JennyS
Wenn sich ein Arzt zu 70% sicher ist, dass ein Mann Krebs hat, wie hoch ist dann die Wahrscheinlicjkeit, dass a) ein erhöhter und b) ein nicht erhöhter Level vorliegt?

Bei dieser Fragestellung sind $\begin{align*} P(B) \end{align*}$ und $\begin{align*} P(B^c) \end{align*}$ gesucht.

Zitat:

Original von JennyS
Ist sich ein Arzt bei einem Mann nun zu 70% sicher, dass dieser Krebs hat, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit auf Krebs, wenn a) ein erhöhter PSA-Wert vorliegt und b) ein nicht erhöhter Wert vorliegt.

Bei dieser Fragestellung dagegen sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(A \mid B) \end{align*}$ und $\begin{align*} P(A \mid B^c) \end{align*}$ gesucht.

Berechnungsgrundlage ist dann die Bayessche Formel.

19.10.2014, 14:21

JennyS

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Zweiterer Fall ist richtig.

Somit ergibt sich: $\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B|A)*P(A)+P(B|A')*P(A')} =0.7*0.268/(0.7*0.268 + 0.3*0.135)= 82,24% \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} P(A|B')=\frac{P(B'|A)*P(A)}{P(B'|A)*P(A)+P(B'|A')*P(A')} = 66,38% \end{eqnarray*}$
Diese Ergebnise stimmen mit den Musterlösungen überein.

Vielen, vielen lieben Dank HAL 9000! Wink

Wink

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