Grundbegriffe der Mengenlehre: Familie

18.10.2014, 22:48

snickepie

Grundbegriffe der Mengenlehre: Familie

Hallo,

ich bin bei Aufgaben zur Mengenlehre auf den Begriff Familie gestoßen.
Ich vermute einfach mal, dass eine Familie Mengen als Elemente beinhalten bzw. eine Menge von Mengen darstellt.

Wenn ich eine nicht-leere Familie {ai | i Element von I} habe, habe ich dann die Mengen a1,a2,...an oder wie?

Vielen Dank smile

19.10.2014, 09:08

Bürgi

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RE: Grundbegriffe der Mengenlehre: Familie
Guten Morgen,

guckst Du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Familie_%28Mathematik%29

19.10.2014, 16:35

snickepie

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Da war ich schon drauf... Hilft mir aber nicht wirklich weiter.

19.10.2014, 20:21

Stephan Kulla

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Zitat:

Familie Mengen als Elemente beinhalten bzw. eine Menge von Mengen darstellt.

Nicht ganz. Eine Familie ist eine Funktion von einer Indexmenge, welche Mengen als Ergebnisse besitzt.

Du kennst du sicherlich die Schreibweise $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ . Hier wird jeder natürlichen Zahl eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ zugeordnet (also eine Funktion von natürliche Zahlen auf natürliche Zahlen). Analog wird bei einer Familie $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ jedem Index i eine Menge $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ zugeordnet (also eine Funktion von der Indexmenge auf eine Menge von Mengen).

19.10.2014, 21:23

snickepie

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Ich kann damit praktisch leider immer noch nichts anfangen.
Ich soll etwas beweisen, was ich auch könnte, wenn man einfach die Familie in der zu beweisenden Gleichung mit beispielsweise den Mengen a und b austauschen würde.
Ich weiß einfach nicht, wie ich mit der Familie rechnen soll...

19.10.2014, 21:33

Stephan Kulla

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Wenn du ein konkretes $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ hast, dann ist auch $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ eine Menge. Nur die Zuordnung $\begin{eqnarray*} i \mapsto A_i \end{eqnarray*}$ nennt man eine Familie. Hilft dir das?

Zitat:

Ich weiß einfach nicht, wie ich mit der Familie rechnen soll...

Zur Begrifflichkeit: Du kannst nur mit Zahlen „rechnen“... In der Hochschulmathematik wird kaum „gerechnet“. (Nur als Hinweis am Rande, dass „rechnen“ hier der falsche Begriff ist. Dieser Hinweis ist zwar kleinlich, aber Mathematik ist nun einmal „kleinlich“... Augenzwinkern

19.10.2014, 21:48

snickepie

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Und wovon wäre dann nAi die Schnittmenge?
(n für den Bogen für Schnittmenge)

19.10.2014, 23:30

Stephan Kulla

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$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i\in I} A_i \end{eqnarray*}$ ist definiert als die Menge aller Elemente, die in allen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ 's enthalten sind. Siehe Schnittmenge. Ich hoffe, dir hilft diese Erklärung...

21.10.2014, 17:56

snickepie2

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Und wie kann ich diese Elemente aufschreiben?
Beispielsweise eben wie A1, A2,...?

21.10.2014, 18:44

Stephan Kulla

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Die Definition lautet

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i\in I} A_i = \{ x \,|\, \forall i \in I: x \in A_i \} \end{eqnarray*}$

Du hast also

$\begin{eqnarray*} x \in \bigcap_{i\in I} A_i \iff \forall i \in I: x \in A_i \end{eqnarray*}$

Wie lautet den deine Aufgabe? Vielleicht können wir dir dann besser helfen...

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