Euklidischer Ring Beweis

18.10.2014, 23:17	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Euklidischer Ring Beweis Meine Frage: Hallo Zusammen! Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter: Zeigen Sie, dass der Ring $\begin{eqnarray} Z[\zeta ] ) = \{ m + \zeta n : m,n \in Z \} \subseteq C \end{eqnarray}$ euklidisch ist für $\begin{eqnarray} \zeta = \frac{-1+\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe die selbe Aufgabe für $\begin{eqnarray} Z[i] \end{eqnarray}$ bereits einmal bewiesen, von dem her weiss ich ungefähr, welche Schritte ich machen muss. Mein Problem ist folgendes: die Punke von $\begin{eqnarray} Z[i] \end{eqnarray}$ bilden ja ein Gitternetz, d.h. der Abstand benachbarter Punkte aus $\begin{eqnarray} Z[i] \end{eqnarray}$ beträgt höchstens $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Aber bei dieser Aufgabe weiss ich nicht, was ich als Abstand nehmen muss. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
19.10.2014, 14:09	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest dir zuerst mal den Ring $\begin{align} \mathbb Z[\sqrt{-3}] \end{align}$ anschauen: Der Fundamentalbereich des Gitters in $\begin{align} \mathbb C \end{align}$ ist ein Rechteck mit Seitenlängen und 1 und $\begin{align} \sqrt 3 \end{align}$ , also ist die Länge der Diagonale 2. Folglich ist der Mittelpunkt des Rechtecks genau 1 von den Gitterpunkten entfernt. Das macht die Euklidizität kaputt. Aber in dem größeren Ring $\begin{align} \mathbb Z[\zeta] \end{align}$ wird ja genau dieser Mittelpunkt nun dazu genommen. Dann ist sofort klar, dass dieser Ring bzgl. der Norm euklidisch ist.
19.10.2014, 18:49	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank!

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