Erzeugendes für Ideal bestimmen

19.10.2014, 00:30	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendes für Ideal bestimmen Meine Frage: Hallo liebes Board! Erst einmal möchte ich mich herzlich bei den Mitgliedern bedanken, welche geduldig helfen und (auch noch so doofe) Fragen beantworten und bei Problemen zur Seite stehen. Vielen Dank, ihr seid super! Nun zu meinem Problem: Wir beschäftigen uns in der Algebravorlesung gerade mit Idealen, aber irgendwie habe ich das Thema noch nicht so ganz verstanden. Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter: Bestimmen Sie in $\begin{eqnarray} Z[i] \end{eqnarray}$ ein Erzeugendes für das Ideal a) (4-7i, 5) b) (4-7i) \cap (5) Meine Ideen: Bei a) muss man doch den ggT der beiden Ideale finden und bei b) das kgV (warum das so ist weiss ich nicht so genau, habs nur mal irgendwo gelesen) Für a) Die Normfunktion ist ja: $\begin{eqnarray} \delta: Z[i] \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a + ib \mapsto a^2 + b^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 = p_1 ... p_k \end{eqnarray}$ (Primfaktorzerlegung) $\begin{eqnarray} \delta(5) = 25 = 55 \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \delta(5) = \delta(p_1) ... \delta(p_k) \end{eqnarray}$ Da 5 prim ist in $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ gibt es maximal 2 irreduzible Faktoren, d.h. $\begin{eqnarray} \delta(p_1) = 5, \delta(p_2)=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 = 1^2 + 2^2 \end{eqnarray}$ kann man schreiben als $\begin{eqnarray} (1+2i)(1-2i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4-7i \end{eqnarray}$ kann ich auf die gleiche Weise aufschreiben wie 5, also: $\begin{eqnarray} \delta(4-7i) = 16 + 49 = 65 = 5 * 13 \end{eqnarray}$ dann komme ich auf: $\begin{eqnarray} \delta(p_1) = 5, \delta(p_2)=13 \end{eqnarray}$ 5 kann ich ja wieder schreiben als $\begin{eqnarray} (1+2i)(1-2i) \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} 13 = 2^2 + 3^2 \end{eqnarray}$ kann man aufspalten in $\begin{eqnarray} (2 + 3i)(2 - 3i) \end{eqnarray*}$ Aber was ist jetzt der ggT? 4 - 7i kann ich ja auf verschiedene Arten schreiben... b) Für diese Aufgabe kann ich ja die Resultate aus a brauchen, nur muss ich hier das kgV finden. Da bin ich gerade etwas überfragt... Wie gehe ich hier am besten vor?
19.10.2014, 13:13	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest dir überlegen, dass es reicht, die beiden komplexen Zahlen $\begin{align} \frac{4-7i}{1+2i} \end{align}$ und $\begin{align} \frac{4-7i}{1-2i} \end{align}$ zu berechnen und schauen, welche davon in $\begin{align} \mathbb Z[i] \end{align}$ liegt.
19.10.2014, 13:51	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Meiner Meinung nach liegt $\begin{eqnarray} \frac{4-7i}{1+2i} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} Z[i] \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \frac{4-7i}{1+2i} =\frac{4-7i}{1+2i}\frac{-2i} {1-2i} = -2 - 3i \end{eqnarray*}$ Bedeutet dies, dass der ggT = (1+2i) ist?
19.10.2014, 14:06	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du solltest nur noch begründen, warum daraus direkt folgt, dass 1+2i der ggT ist.
19.10.2014, 14:45	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Reicht als Begründung, dass 1+2i der ggT ist, weil 1- 2i nicht in $\begin{eqnarray} Z[i] \end{eqnarray}$ liegt, und die anderen beiden Möglichkeiten (2 + 3i, 2 - 3i) die 5 nicht teilen? Wie sieht es mit der Aufgabe b aus, wie finde ich dort das kgV? Beziehungsweise wieso muss ich überhaupt den ggT und das kgV finden (bin mir nicht sicher wieso dass dies gilt)?
19.10.2014, 14:54	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du macht es dir viel zu kompliziert: 5 hat vier Teiler: 1, 1+2i, 1-2i, 5. Also musst du nur noch überprüfen, welche davon auch Teiler von 4-7i sind. Da 1+2i ein Teiler ist, 5 jedoch offenbar nicht, kann der ggT nur 1+2i sein. Zum kgV: der kgV zweier Zahlen ist doch bekanntlich das Produkt der beiden Zahlen geteilt durch den ggT. Zur letzten Frage: In Hauptidealbereichen ergibt sich der Erzeuger der Summa zweier Ideale durch den ggT der beiden Erzeuger. Analog Schnitt zweier Ideale und kgV. Anhand deines ersten Posts hätte ich gedacht, dass du das weißt.
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19.10.2014, 15:01	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank! Ich versuchs mal

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