Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten

20.10.2014, 10:43

prax

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Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten

Meine Frage:
Hallo liebe Mathefreunde,

ich habe ein folgendes Gleichungssystem mit den gesuchten Winkeln alpha und beta:

1: b*sin(beta) + a*sin(alpha) = d
2: b*cos(beta) + a*cos(alpha) = c

Kann mir jemand helfen, einen vernünftigen Lösungansatz zu finden?

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht, zunächst eine der beiden Gleichungen entweder auf sin oder auf cos umzuformen, mit der Winkelfunktion: sin^2+cos^2=1

also: b*sqrt(1-sin^2(beta)) - a*sqrt(1-sin^2(alpha)) = c

Wenn ich aber damit weiterrechne, wird es arg kompliziert. Gibt es eine einfachere Lösung?

20.10.2014, 12:57

sixty-four

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RE: Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
Aus dem Additionstheorem $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \end{eqnarray*}$ für den Sinus ergibt sich für $\begin{eqnarray*} \beta=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sin \alpha+\cos \alpha =\sqrt{2} \sin (\frac{\pi}{4}+\alpha) \end{eqnarray*}$

Wenn du beide Gleichungen addierst, solltest du damit weiterkommen.

Sorry, ich glaube ich habe mich geirrt. Ich muss noch mal etwas länger überlegen.

Vielleicht hat jemand anderes eine Idee?

20.10.2014, 13:55

prax

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RE: Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
Ich gehe mal am besten zu meinem Ausgangsproblem zurück.

Ich habe eine vereinfachte Geometrie mit den gegebenen Größen a, b, c und d.
Gesucht sind die Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$

Hier die Skizze von der Geometrie:

[attach]35763[/attach]

Dazu habe ich folgende Gleichungen aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} b\cdot \sin(\beta ) + a\cdot \sin(\alpha ) = d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b\cdot \cos(\beta ) - a\cdot \cos(\alpha ) = c \end{eqnarray*}$

21.10.2014, 11:56

prax

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RE: Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
Ist diese Aufgabe überhaupt lösbar?

21.10.2014, 13:42

riwe

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RE: Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten

Zitat:

Original von prax
Ist diese Aufgabe überhaupt lösbar?

ja, das führt auf eine quadratische Gleichung.

21.10.2014, 14:44

HAL 9000

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Die Bedingung für die Lösbarkeit ergibt sich aus der Dreiecksungleichung:

$\begin{align*} \left| a-b \right| \leq \sqrt{c^2+d^2} \leq a+b \qquad (*) \end{align*}$ .

Wenn wir nicht gerade in einem der beiden Randfälle mit = in (*) sind, gibt es da natürlich genau zwei Lösungen, die durch Spiegelung an der Gerade durch die beiden Endpunkte ineinander übergehen.

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21.10.2014, 20:45

riwe

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eventuell gibt´s - wenn überhaupt - sogar 4 Lösungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.10.2014, 20:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von riwe
eventuell gibt´s - wenn überhaupt - sogar 4 Lösungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die 2 so entstandenen sind m.E. keine substanziell anderen Lösungen: Die blaue Lösung entspricht winkelmäßig genau der gespiegelten roten (in deiner Skizze nicht extra farbig markiert, also schwarz).

21.10.2014, 22:51

riwe

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aber die blaue ist nicht die gespiegelte rote, oder verwirrt

verwirrt

21.10.2014, 23:04

HAL 9000

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Nein, nicht die rote - sondern die von mir neu eingezeichnete blaue:

[attach]35790[/attach]

Aber eigentlich habe ich keine Lust mehr, die Lösungsanzahl zu diskutieren, da das ja anscheinend von der Willkür abhängt, wo man alles c,d abtragen kann (links, rechts, oben unten)...

21.10.2014, 23:19

riwe

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na dann einen schönen lustvollen Schlaf

22.10.2014, 15:35

prax

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Ok, dass es einen Lösungsweg gibt, hätten wir dann geklärt.
Hat aber schon einer versucht, die Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ auszurechnen?
Ich komme nicht auf die Lösung. unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

22.10.2014, 15:47

HAL 9000

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Du kannst die Dreiecksinnenwinkel per Kosinussatz bestimmen, die drei Seiten $\begin{align*} a,b,\sqrt{c^2+d^2} \end{align*}$ sind ja bekannt. Und der Rest sind im wesenlichen Winkeldifferenzbildungen, wobei auch noch (siehe Skizze) der Winkel $\begin{align*} \arctan\left(\frac{d}{c}\right) \end{align*}$ eine Rolle spielt.

22.10.2014, 16:56

riwe

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Alternative aus deinen Gleichungen

$\begin{eqnarray*} (1) \quad{ }b^2\cdot sin^2\beta=(d-a\cdot sin\alpha)^2 \end{eqnarray*}$

analog mit (2) und addieren, schon ist ein Winkel verschwunden Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2014, 11:43

prax

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Vielen Dank für den Hinweis auf den Kosinussatz.
So konnte ich die Aufgabe lösen.
Was allerdings die Gleichungen angeht, habe ich leider nicht durchblicken können. Egal wie ich es bisher versucht habe, ich bin immer an dem Wurzelausdruck hängen geblieben und konnte nicht weiterkommen.

28.10.2014, 11:59

riwe

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wenn du deine beiden Gleichungen quadriesrt und addierst bekommst du:
$\begin{eqnarray*} 2ac\sqrt{1-sin^2\alpha}=2ad\cdot sin\alpha-q\text{ mit }q=a^2-b^2+c^2+d^2 \end{eqnarray*}$

noch einmal quadrieren sollte nun Spaß machen

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