quadratische Form ~ Normalform ?

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StrolchXL Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische Form ~ Normalform ?
Hallo,

ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben sei die quadratische Form


Gesucht ist

a) eine Koordinatenmatrix der zugehörigen Bilinearform
und
b) die Normalform dieser symmetrischen reellen Matrix


Zu a)

Ich hätte die Koordinatenmatrix M wie folgt bestimmt:



Zu b)
Hier wollte ich zur Normalform kommen, indem ich die Eigenwerte bestimme und dann eine Matrix erhalte, die so aussieht:

,
wobei die Anzahl der positiven Eigenwerte und die Anzahl der negativen Eigenwerte bezeichnet.

Das ging aber offensichtlich nicht - gehe ich hier mit einer Hauptachsentransformation vor? Oder anders? In jedem Fall: Wie gehts weiter?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische Form ~ Normalform ?
Zitat:
Original von StrolchXL
Das ging aber offensichtlich nicht

verwirrt Das kann nicht sein, die Eigenwerte auszurechnen geht immer...

Alternativ kannst du auch den symmetrischen Gauss-Algorithmus benutzen, der gleich eine passende Transformationsmatrix dazu ausrechnet. Das ist hier an einem Beispiel vorgefuehrt: Bilinearformen, Matrix, Diagonalgestalt, Basiswechsel

Edit: Die Matrix hat zwei positive und einen negativen Eigenwert.
StrolchXL Auf diesen Beitrag antworten »

Lieben Dank für die hilfreiche und schnelle Antwort!

Ich weiß von einer Mitstudentin, dass die Aufgabe gelöst werden kann, indem man zunächst elementare Kongruenzumformungen durchführt..

Ich werde mir deinen Link jetzt nochmal genauer ansehen!


Mit der Hauptachsentransformation erhalte ich immer die Normalform oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Mit elementaren Kongruenzumformungen ist sicherlich dasselbe gemeint wie das, was ich symmetrischen Gauss genannt habe. Das ist das, was ich in dem Beispiel gemacht habe.
Mit Hauptachsentransformation ist das Finden einer orthogonalen Matrix, also einer Matrix mit , sodass diagonal ist, gemeint, nehme ich an. Das liefert dir also eine Diagonalmatrix, die jedoch noch nicht unbedingt "die Normalform" ist, wo vermutlich nur noch Eintraege aus auftauchen sollen. [Das haengt alles ein wenig von der Definition der Begriffe "Normalform" und "Hauptachsentransformation" in eurer Vorlesung ab...]
Von der Diagonalgestalt aus erreicht man diese Normalform aber natuerlich sehr schnell, indem man die Eintraege durchdividiert.
StrolchXL Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich habs mal versucht:

1) 1. Zeile mal 3 + 2. Zeile; anschließend 1. Spalte mal 3 + 2. Spalte nur links:


2) 2. Zeile - 1. Zeile; anschließend 2. Spalte - 1. Spalte nur links:


Da komm ich links auf keine Einheitsmatrix, da ich durch gleichzeitiges Zeile- und Spaltenumformen stecken bleibe =/
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Tausch der ersten und zweiten Zeile und darauffolgende Tausch der ersten und zweiten Spalte ergibt .
Damit ist nur noch der untere rechte -Block von Interesse, dort ergibt der Tausch der zweiten mit der dritten Zeile und zweiten mit dritten Spalte wieder einen Diagonaleintrag, danach nur noch auslöschen und fertig ist die Diagonalgestalt.
 
 
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