Induktion mit Binomialkoeffizienten

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22.10.2014, 21:53	herrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion mit Binomialkoeffizienten Hallo! Ich habe dieses Semester mit meinem Studium begonnen und habe ein kleines Problem bei einer bestimmten Aufgabe: ich soll zeigen dass: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \times 2^{k} = 3^{n} \end{eqnarray}$ Der Induktionsanfang war ja einfach, einfach für n=0 ergibt beides 1 Aber ich habe keine Ahnung wie ich den Induktionsschritt machen soll bzw. wie ich n+1 einfüge, es sind ja 2 Variablen da, irgendwie verstehe ich das noch nicht wirklich. Wie ich darauf den Binomischen Lehrsatz anwenden soll verstehe ich auch nciht, ich hoffe mir kann einer von euch helfen
23.10.2014, 00:54	Stephan Kulla	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion mit Binomialkoeffizienten Der "Trick" ist hier auch keine vollständige Induktion zu verwenden, sondern direkt den binomischen Lehrsatz anzuwenden. Wie lautet den der binomische Lehrsatz? Kannst du ihn irgendwie auf $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 2^{k} \end{eqnarray}$ anwenden? Tipp am Rande: Anstelle von \times kannst du \cdot in LaTeX für das Produktzeichen schreiben.
23.10.2014, 08:01	herrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich weiß, dass der binomische Lehrsatz der hier ist : $\begin{eqnarray} \left((a+ b) ^{n+1} \right) = (a+b)\cdot \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot a^{n-k}\cdot b^{k} \end{eqnarray}$ Aber ich weiß nicht genau wie ich ihn auf eine andere Summe anwende.. Ich hoffe ich könnte ein oder zwei Tipps mehr bekommen
23.10.2014, 08:54	Stephan Kulla	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende den binomischen Lehrsatz in der Form $\begin{eqnarray} (a+ b) ^{n} = \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot a^{n-k}\cdot b^{k} \end{eqnarray}$ (und vergesse das mit der vollständigen Induktion erst einmal) Vergleiche mal die beiden Terme $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 2^{k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot a^{n-k}\cdot b^{k} \end{eqnarray}$ miteinander. Dir sollten gewisse Ähnlichkeiten auffallen. Wie musst du a und b wählen, damit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot a^{n-k}\cdot b^{k} = \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 2^{k} \end{eqnarray}$ ist?
23.10.2014, 13:22	herrich	Auf diesen Beitrag antworten »
a=2 und b=1 oder andersherum?
23.10.2014, 13:45	Stephan Kulla	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde a=1 und b=2 nehmen. Setze diese konkreten Werte für a und b mal in $\begin{eqnarray} (a+ b) ^{n} = \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot a^{n-k}\cdot b^{k} \end{eqnarray}$ ein. Jetzt solltest du deine Aufgabe lösen können...
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23.10.2014, 16:02	herrich	Auf diesen Beitrag antworten »
also mit dem binomischen lehrsatz und a=1 und b =2 sieht ja dann so aus $\begin{eqnarray} \left(1+2\right) ^{n+1} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} ~\binom {n+1} k \cdot 1^{n+1-k} \cdot 2^{k} \end{eqnarray}$ dadurch dann $\begin{eqnarray} \left(1+2\right) ^{n+1} = (1+2) \cdot (1+2)^{n} \end{eqnarray}$ somit dann $\begin{eqnarray} 3^{n+1} = 3\cdot \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 1^{n-k}\cdot 2^{k} \end{eqnarray}$ soo, ist das so fertig? für mich ist das irgendwie kein richtiger beweiß, ich habe hier also grade bewiesen, dass zb 5=5 ... hab ich etwas falsch gemacht, danke für die bisherigen tipps, bzw auf weitere tipps
23.10.2014, 17:44	Stephan Kulla	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergiss mal die vollständige Induktion und damit die Formel für n+1 und verwende die Formel nur für n. (Ja, der Beweis ist dann ziemlich kurz und nur ein Einzeiler )
23.10.2014, 20:30	herrich	Auf diesen Beitrag antworten »
hääää xD dann steht da ja nur: $\begin{eqnarray} \left(1+2\right) ^{n} = \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 1^{n-k}\cdot 2^{k} \end{eqnarray}$ was hab ich denn jetzt damit bewiesen xD
23.10.2014, 21:20	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, aber jetzt steht doch genau das da, was du zeigen sollst. Nagut, du musst die Klammer noch zusammenfassen.
23.10.2014, 21:33	Stephan Kulla	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst ja $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 2^{k} = 3^n \end{eqnarray}$ beweisen. Die Gleichung, die du durch den binomischen Lehrsatz mit a=1 und b=2 hast lautet $\begin{eqnarray} \left(1+2\right) ^{n} = \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 1^{n-k}\cdot 2^{k} \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} \left(1+2\right) ^{n} = 3^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 1^{n-k}\cdot 2^{k} = \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 2^{k} \end{eqnarray}$ . Also kannst du schreiben: $\begin{eqnarray} 3^n = \left(1+2\right) ^{n} = \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 1^{n-k}\cdot 2^{k} = \sum\limits_{k=0}^n ~\binom n k \cdot 2^{k} \end{eqnarray}$ Du solltest dir diesen Trick merken. Er wird häufig in Übungsaufgaben im Zusammenhang mit dem Binomialkoeffizienten verwendet.
24.10.2014, 07:33	herrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke ich habe es jetz verstanden :'D Vielen Dank für die Hilfe, ich bin neu auf dem Board und finde es jetzt schon klasse!

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