Zähldichten beweis richtig?

23.10.2014, 11:56

stochamocha

Zähldichten beweis richtig?

Meine Frage:
Hallo ich soll folgende zähldichtenbeweisen

$\begin{eqnarray*} 1. p(k)= \binom{n}{k}p^k*(1-p)^{n-k},k\in \left\{0,...,n\right\}, n\in \mathbb N ,p\in\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.p(k)= -\frac{p^k}{k*log(1-p)} , k\in \mathbb N ,p\in \left(0,1\right) \end{eqnarray*}$

das die beiden sachen $\begin{eqnarray*} 1.,2. \geq 0 \end{eqnarray*}$ spar ich mir jetzt mal hier im Forum und beweise das alleine

Meine Ideen:
zu 1. hab ich kaum einen plan wie ich das umschreiben kann,sodass $\begin{eqnarray*} \sum\limits p(k)=1 \end{eqnarray*}$

bei der 2. hab ich eine Idee

$\begin{eqnarray*} p(k)= -\frac{p^k}{k*log(1-p)} = -p^k*\frac{1}{k}* \frac{1}{log(1-p)} \end{eqnarray*}$ jetzt die taylorentwicklung auf $\begin{eqnarray*} log(1-p) \end{eqnarray*}$ angewandt

$\begin{eqnarray*} -\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^k*\left(-p\right)^k}{k} \Rightarrow \frac{1}{-\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^k*\left(-p\right)^k}{k}}= -\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k}{\left(-1\right)^k*\left(-p\right)^k} \Rightarrow -\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{-p^k*k}{k*\left(-1\right)^k*\left(-p\right)^k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\left(-1\right)^k} \end{eqnarray*}$

und jetzt klappt's nicht mehr...:/

23.10.2014, 12:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von stochamocha
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^k*\left(-p\right)^k}{k}}= -\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k}{\left(-1\right)^k*\left(-p\right)^k} \end{eqnarray*}$

Und das kurz vor dem Mittagessen...

Ich verstehe überhaupt nicht, was du da für Kapriolen anstellst: Die genannte Taylorreihe vereinfacht

$\begin{align*} \log(1-p) = -\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k \cdot (-p)^k}{k} = -\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{p^k}{k} \end{align*}$ ,

schon ist die Sache im Kasten.

Und bei der 1. hilft der Binomische Satz.

23.10.2014, 13:14

stochamocha

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zur 1) $\begin{eqnarray*} p(k)= \binom{n}{k}p^k*(1-p)^{n-k},k\in \left\{0,...,n\right\}, n\in \mathbb N ,p\in\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n p(k)= \sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k}p^k*(1-p)^{n-k} = \left(\left(1-p\right)+p \right)^n = (1)^n=1 \end{eqnarray*}$

kann man das so machen?

zur 2)
$\begin{eqnarray*} p(k)= -\frac{p^k}{k*log(1-p)} , k\in \mathbb N ,p\in \left(0,1\right) \end{eqnarray*}$

da steht doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{log(1-p)} \end{eqnarray*}$ ,muss die Taylorentwicklung denn nicht unterdem dem bruch stehen denn sie gilt nur für $\begin{eqnarray*} log(1-p) \end{eqnarray*}$ und nicht für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{log(1-p)} \end{eqnarray*}$ ? und wieso ist bei $\begin{eqnarray*} -\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{p^k}{k} \end{eqnarray*}$ die sache in der Kiste ? muss dann nicht noch der Kehrbruch gebildet werden?

liebe grüße

stochamocha

23.10.2014, 13:18

HAL 9000

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Herrje, du hast dich ja vollkommen in den Brüchen verheddert! Finger1

Nachzuweisen ist

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \left( -\frac{p^k}{k\log(1-p)} \right) = 1 \end{align*}$ .

Nach Multiplikation (!!!) mit $\begin{align*} \log(1-p) \end{align*}$ (und das Minus aus der Summe gezogen) ist diese Behauptung äquivalent zu

$\begin{align*} -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{p^k}{k} = \log(1-p) \end{align*}$ .

23.10.2014, 17:02

stochamocha

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also steht denn da

$\begin{eqnarray*} -\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{p^k}{k} =-\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{p^k}{k} \end{eqnarray*}$
und das ist ja gleich $\begin{eqnarray*} 1 =1 \end{eqnarray*}$ ?

23.10.2014, 17:35

HAL 9000

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Die Verunsicherung muss ja gigantisch sein, wenn du selbst jetzt noch mit Fragezeichen hantierst. unglücklich

Aber ja: Die äquivalente Umformung der Behauptung ergibt genau dieselbe Gleichung, wie aus der Taylorreihe gewonnen - na das ist es doch.

P.S.: Und für deine obige "Umformung" $\begin{align*} \frac{1}{\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k} \stackrel{???}{=} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{a_k} \end{align*}$ solltest du dich wirklich schämen.

23.10.2014, 17:47

stochamocha

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Sorry... aber die erstee ist auch korrekt?

23.10.2014, 17:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von stochamocha
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n p(k)= \sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k}p^k*(1-p)^{n-k} = \left(\left(1-p\right)+p \right)^n = (1)^n=1 \end{eqnarray*}$

Ja, ist korrekt.

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