Käfer und Gummischnur

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17.08.2004, 14:50	Robin Hood	Auf diesen Beitrag antworten »
Käfer und Gummischnur Eine Physikaufgabe, aber eine Lösung, (die ich nicht hinkrieg :help für Mathematiker: Eine Gummischnur von 1km Länge ist mit einem Ende an einer Wand begfestigt, das andre hält man in der Hand. der Käfer startet nud kriecht auf der Schnur von der Wand auf sie zu mit einer Geschwindigkeit von 1 cm/s Sobald er den ersten Zentimeter zurückgelegt hat, zieht man an der Gummischnur und verlängert sie um 1 km und so jede Sekunde. Kann der Käfer das andere Ende erreichen, und wenn, wann. Hier der Ansatz. ich mache zwei Folgen, eine (a) für die länge der Gummischnur und eine zweite (b) für die Strecke des Käfers: $\begin{eqnarray} a(n+1)=\frac{n+1}{n}a(n)=n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b(n+1)=\frac{n+1}{n}\{C+b(n) \}=\frac{n+1}{n}C+\frac{n+1}{n}\{\frac{n}{n-1}\{ C+b(n-1)\}\} \end{eqnarray}$ Bei der Folge b kann man so den folgenden Ausdruck erhalten: $\begin{eqnarray} b(n+1)=C\{\frac{n+1}{n}+\frac{n+1}{n-1}+\frac{n+1}{n-2}+...+\frac{n+1}{1} \}=C\sum_{n=1}^k~ \frac{k+1}{n} \end{eqnarray}$ wobei C immer 1cm=10^-6 km ist Erreicht der Käfer das Ende, so ist a(n+1)=b(n+1) $\begin{eqnarray} k+1=C\sum_{n=1}^k~ \frac{k+1}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{C}=\sum_{n=1}^k~ \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Bis hierher bin ich gekommen, jetzt meine Frage, die Summe ist die harmonische Reihe, aber wie löst man diese Gleichung nach k auf um die Zeit zu bestimmen ??? Nähren kann mans bestimmt, aber genau wärs besser, oder wenn nicht, wie nähren? Danke fürs nachdenken! :]
17.08.2004, 16:53	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray} H_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=C_0 \end{eqnarray}$ nach n aufzulösen wird wohl nur in den wenigsten Fällen exakt möglich sein, da die Summe ja nur diskrete Werte annimmt, so wird sie für $\begin{eqnarray} C_0=\frac{6}{5} \end{eqnarray}$ sicher keine Lösung besitzen, da $\begin{eqnarray} 1=H_1<C_0<H_2=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Es gibt 2 Möglichkeiten: 1. Bezeichne $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ die Digamma-Funktion, also die 1. logarithmische Ableitung der Gamma-Funktion $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ . Für natürliche n gilt: $\begin{eqnarray} \Psi(n+1)+\gamma=H_n \end{eqnarray}$ , somit könnte man $\begin{eqnarray} x\mapsto \Psi(x+1)+\gamma \end{eqnarray}$ für eine Interpolation von $\begin{eqnarray} H_n \end{eqnarray}$ auf die reellen Zahlen benutzen. Die $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ -Funktion steigt streng monoton auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{+} \end{eqnarray}$ (das Bild von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{+} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ), also auch unsere Interpolationsfunktion, damit existiert eine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \Psi^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^{+} \end{eqnarray}$ und damit lautet ein exakter Wert für die Gleichung von oben $\begin{eqnarray} x=\Psi^{-1}(C_0-\gamma)-1 \end{eqnarray}$ 2. Möglichkeit: Es gilt die, besonders für große n erfreulich präzise Abschätzung $\begin{eqnarray} \ln(n)+\gamma<H_n<\ln(n+1)+\gamma \end{eqnarray}$ Damit lassen sich sehr gute Nährungswerte für deine Lösung gewinnen. Ich hoffe, eine der beiden Möglichkeiten sagt dir zu. Gruß Philipp
17.08.2004, 17:57	landy	Auf diesen Beitrag antworten »
irgenwann reist auch das beste gummiband !
17.08.2004, 21:21	axitopus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Robin! Wenn man die Gummischnur um 1 km jede Sekunde ausdehnt, wird sich die Hand immer weiter vom Käfer entfernen. Realistisch und interessant wäre Verlängerungsgeschwindigkeit von 1cm/s genau gleich wie beim Käfer. Außerdem ist 1cm im Vergleich zu 1km sehr klein, was die Verwendung einer stetigen Funktion möglich macht. v_käfer = v_hand = v k Position des Käfers h Position der Hand k_0 = 1cm h_0 = 100000cm h = h_0+vt k = k_0+k/hvt+vt (die Ausdehnung der Gummischnur zieht auch den Käfer vorwärts) Uns interessiert die Entfernung Käfer-Hand als Funktion der Zeit d = h - k d= h_0+vt - k_0+k/hvt+vt =h_0 - k_0 - k/h*vt Wenn der Käfer am Ziel ist, d=0, k=h, t = (h-k)/v=(100000-1)/1=99999s = ca. 27h 47min und die Gummischnur wird doppelt so lang sein wie am Anfang. Mit freundlichen Grüßen axitopus
18.08.2004, 12:29	Robin Hood	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, hier mein Vorschlag Die Lösungen hören sich gut an, aber überzeugen konnte mich noch keiner richtig, ich habe jetzt auch eine Idee , was haltet ihr davon? Umwandlung der Summe in ein Integral: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^k~ \frac{1}{n} =\int_{1}^{k}~\frac{1}{n}~dn =ln(k)-ln(1) \end{eqnarray}$ Das lässt sich lösen: $\begin{eqnarray} k=e^{10^{5}} \end{eqnarray}$ Das ist eine transastronomische hohe Zahl ( $\begin{eqnarray} 10^{43000} \end{eqnarray}$ ) Könnte man es auch so machen?? Gruß aus Sherwood
18.08.2004, 12:41	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Also es gilt ganz sicher nicht $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\int_1^n \frac{1}{x}dx \end{eqnarray}$ , wie kommst du darauf (es gilt höchstens nährungsweise für große n, meintest du vielleicht das?). Aber es gilt, wie gesagt, die Abschätzung $\begin{eqnarray} \ln(n)+\gamma<\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}<\ln(n+1)+\gamma \end{eqnarray}$ Daraus erkennt man sofort, dass für die Lösung $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ deiner Gleichung (diese lautet doch $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1000000 \end{eqnarray}$ , nicht wahr?) die Abschätzung $\begin{eqnarray} \exp(1000000-\gamma)-1<n_0<\exp(1000000-\gamma) \end{eqnarray}$ gilt, ein wirklich sehr brauchbares Resultat. Das einzige Problem ist, die Abschätzung zu beweisen, mit ein bisschen Gewurstel bekommt man das aber hin.
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18.08.2004, 12:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sagt wohl Lady Marian dazu, wenn du so forsch drauf losgehst und so voll danebenzielst? So wirst du den bösen Sheriff nie zur Strecke bringen! Die linke Summe ist eine Obersumme des Integral von 1 bis k+1, aber nicht gleich diesem Integral.
24.08.2004, 13:40	Robin Hood	Auf diesen Beitrag antworten »
:P :P :P :P :P :P :P :P Da hab ich wohl vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr gesehen
14.12.2006, 23:50	Mathieri	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe versucht Euren Argumentationen zu folgen, doch dummerweise gab es ständig "konkrete" Probleme,... Also meine Professoren sind auf L S D. Die sagen: Man hat ein unendlich homogen dehnbares Gummiband der Länge L (im Beispiel hier 1 km). Desweiteren hat man eine Strecke S, um die sich das Gummiband nach 1h erst dehnt (im Beispiel war S = 1km und Zeit in Sekunden). Und man hatte einen Käfer, der in einer Stunde D Weg auf dem Band zurücklegt. Frage war nun: Kommt der Käfer für jedes L,S,D an? Die Antwort lautet natürlich Ja, die Abgabe ist morgen um 12:00 und ich komme mit den ganze einsen von hier durcheinander,... Beispiel: a(n+1) = (n+1)/n Ist dieses +1 hinterm dem gleich nun der Anfangskilometer L und n ist in wahrheit n* 1km, also meine Strecke n * S? Wenn ja, sieht der ganze Mist dann nachher so aus: a(n+1) = (nS+L)/nS, b(n+1) = a(n+1)*(D+b(n)) Soweit soklar. Und was kommt dann ? was wird aus dem n/n-1 in meiner ach so schönen allgemeinen Formel ? Wenn DIE einer knacken kann, braucht man in Zukunft nurnoch Werte einsetzten und und nie wieder Beispiele vorzurechnen von Leute, die die Suche nicht benutzen können ^^ (so wie ich,... habe "gummiband" eingegeben, haben EIN Ergebnis und kan von da aus in 2 weitere Threads,...) PS: Weiss einer, wo ich LaTeX lernen kann, und welcher Editor sich dafür am besten eignet? Habe MiKTeX bereits installiert.

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