Eindeutigkeit von Steckbriefaufgaben |
| 24.10.2014, 21:03 | Fanbusfahrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Eindeutigkeit von Steckbriefaufgaben Ich habe eine Frage bezüglich der Eindeutigkeit von Steckbriefaufgaben und wie man das in schwierigen Fällen direkt erkennt, ob die Bedingungen für die gesuchte Funktion ausreichen. Ich habe mir dazu zwei Beispiele überlegt, wo das mit der Eindeutigkeit nicht klappt. Beim ersten Beispiel fällt mir die Begründung noch recht leicht, beim zweiten finde ich sie einfach nicht. Vielleicht könnt ihr da helfen... Hier die Beispiele: 1. Beispiel: Eine Funktion zweiten Grades hat einen Tiefpunkt bei x=-1 und geht durch die Punkte (0/1) und (-2/1). Stellt man nun ein Gleichungssystem auf, so erhält man keine eindeutige Lösung, weil die Bedingungen der Punkte doppelt sind (wegen der Symmetrie zum Tiefpunkt). Der zweite Punkt liefert keine neue Information: Also f(x)=ax²+bx+c f'(x)=2ax+b Bedingungen einsetzen: f(0)=1->c=1 f(-2)=1 ->a(-2)²-2b+c=1 f'(-1)=0->-2a+b=0 Löst man das auf per Hand oder mit rref und einer Matrix, so erhält man unendlich viele Lösungen 2. Beispiel: Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat bei x=-1 und x=5 Nullstellen, eine Extremstelle bei x=3,5 und für x=1 einen Wendenpunkt mit waagerechter Tangente. Bestimmen Sie einen Funktionsterm. Begründen Sie, warum es keine eindeutige Lösung gibt. Lösung dazu: Eine Funktion vierten Grades hat immer die Form f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f'(x)=4ax^3+3b^2+2cx+d f''(x)=12ax^2+6bx+2c Wir stellen die Bedingungen auf, woraus sich jeweils eine Gleichung ergibt: f(-1)=0->a(-1)^4+b(-1)^3+c(-1)^2+d(-1)+e=0 f(5)=0->a*5^4+b*5^3+c*5^2+d*5+e=0 f'(3,5)=0->4*a*3,5^3+3*b*3,5^2+2*c*3,5+d=0 f'(1)=0->4*a*1^3+3*b*1^2+2*c*1+d=0 f''(1)=0->12a+6b+2c=0 Eingegeben mit solve und and in den Rechner erhält man die Lösungen: a=-0,026k, b=0,191k,c=-0,417k,d=0,365k,e=k Und damit eine Funktionenschar: f(x)=-0,026k*x^4+b*0,191k*x^3-0,417k*x^2+0,365k*x+k Die Graphen werden also mit einem Faktor gestreckt. Oben ist der Faktor k, wenn man ihn ausklammert. f(x)=k(*-0,026*x^4+b*0,191*x^3-0,417*x^2+0,365*x+1) Nun ist es so, dass wenn man z. B. aus der ersten Nullstelle einen Punkt macht (also statt (-1/0) macht man (-1/1), so erhält man eine eindeutige Lösung (wenngleich mit riesigen Zahlen für a-e). Aber die scheint zu stimmen. In der Aufgabe fehlen wohl Angaben zu y-Koordinaten. Deshalb ist das hier nicht eindeutig. Aber wie kann man das genau erkennen? Das leuchtet mir nicht ein und man kann es sich auch nicht so schön wie im 1. Beispiel erklären... Oder fällt euch dazu etwas ein? Grüße, Martin |
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| 25.10.2014, 00:27 | DrSchlau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Eindeutigkeit von Steckbriefaufgaben
Ich denke, dass man im allgemeinen nicht eine so anschauliche Antwort geben kann wie in deinem ersten Beispiel. Im zweiten Bespiel gibt es nach der Vorgabe (Polynom vierten Grades) fünf Freiheitsgrade (a,b,c,d,e). Dazu gibt es fünf Zusatzinformationen, wie du richtig heraus gefunden hast. Kurz: fünf Unbekannte, fünf Gleichungen. Das kann zu einer eindeutigen Lösung führen, muss aber nicht, vor allem dann nicht, wenn eine oder mehrere Zusatzinformationen redundant sind. Woran merkt man das? Wenn man einfach solve benutzt, nur daran, dass kein eindeutiges Ergebnis heraus gespuckt wird; was auch für mich sehr unbefriedigend wäre. Für einen richtigen Aha-Effekt empfehle ich Dir, das Gleichungssystem (bzw nimm lieber ein schöneres Beispiel, wo nicht so fiese Brüche herauskommen) Schritt für Schritt aufzulösen. An irgend einer Stelle wirst Du feststellen, dass eine neue Gleichung keine neue Information ergibt, sondern nur eine Tautologie wie 0=0 oder a+b = a+b. An dieser Stelle hast Du eine Gleichung (bzw eine "Zusatzinformation") in der Hand, die redundant zu den schon verwendeten ist. Und das alleine ist die Begründung für die Unterbestimmtheit der Funktion. |
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| 25.10.2014, 12:39 | Fanbusfahrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Eindeutigkeit von Steckbriefaufgaben Hallo! Vielen Dank für deine Antwort. Ich frage mich nur, welche Bedingung redundant ist zu der vorherigen. Habe schon versucht das Gleichungssystem per Hand zu lösen (also in Matrixschreibweise; Gauß-Verfahren). Allerdings hab ich mich da wohl verrechnet. Mir ist klar, dass man dadurch eigentlich die Gleichungen finden müsste, die keine neuen Informationen liefert. Aber irgendwie blöde Zahlen. Werde gleich nochmal ein anderes Beispiel durchrechnen mit anderen Zahlen. Vielleicht hat ja noch jemand anders zur Eindeutigkeit von solchen Aufgaben eine Idee. Grüße, Martin |
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| 25.10.2014, 13:39 | Fanbusfahrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Eindeutigkeit von Steckbriefaufgaben Und nochmal hallo. Interessant ist noch, dass wenn ich statt 3,5 als Extremstelle 3 wähle (also leichtere Zahlen), dass dann keine Lösung herauskommt. Das hatte ich bei einem selbst konstruierten Beispiel mit hoch 3 schon mal. Es muss also mit dem allgemeinen Verlauf von Funktionen vierten Grades zusammenhängen. Ich überlege mal weiter. |
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| 28.10.2014, 00:23 | trara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Eindeutigkeit von Steckbriefaufgaben Hallo ein homogenes Gleichungssystem (eines mit nur 0 auf der rechten Seite hat entweder keine Lösung oder mit einer Lösung auch alle Vielfache dieser Lösung, da du ja jede Gleichung mir k multiplizieren kannst und wieder 0 rauskommt. probier das mit leichteren Beispielen. Parabel Maximum bei x=0, Nullstellen -1 und +2 hier siehst du zwar auch noch warum das aus Symmetriegründen nicht geht, aber auch ein Polynom 3 ten grades etwa ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt, also wenn der angegeben ist, und die anderen Punkte unsymmetrisch dazu liegen, gibt es auch keine Lösung. bei den anderen Polynomen sind Symmetrien nicht so leicht zu sehen, aber ein Wendepunkt liegt etwa immer zwischen einem Max und einem Min usw. Gruß trara |
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