Komplexe Zahlen (Gleichung und Ungleichung)

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25.10.2014, 17:45	User1	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen (Gleichung und Ungleichung) Meine Frage: 1.) Für welche komplexen Zahlen $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \frac{z}{5+5i}= \frac{1}{iz+4-i} \end{eqnarray}$ 2.) Bestimmen Sie alle Lösungen $\begin{eqnarray} z \in C \end{eqnarray}$ der Ungleichung $\begin{eqnarray} Im\left(\frac{1}{z}\right) < Im\left(z\right) , z\neq 0 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen:* zu 1.) Umstellung zu: $\begin{eqnarray} z(iz+4-i)=5+5i \ \ \ \Rightarrow \ \ \ z^{2}i+4z-iz=5+5i \end{eqnarray}$ Ersetzung von z durch a+ib: $\begin{eqnarray} (a+ib)^{2}i+4(a+ib)-i(a+ib)=5+5i \end{eqnarray}$ Ausmultipliziert: $\begin{eqnarray} a^{2}i-b^{2}i-2ab+4a+4ib-ia+b=5+5i \end{eqnarray}$ Ich würde nun Real- und Imaginärteil getrennt betrachten: $\begin{eqnarray} (Re) \Rightarrow \ 4a+b-2ab=5 \\ (Im) \Rightarrow \ a^{2}-b^{2}+4b-a=5 \end{eqnarray}$ Gleichsetzen: $\begin{eqnarray} 4a+b-2ab=a^{2}-b^{2}+4b-a \end{eqnarray}$ Nun fehlt es mir an Fertigkeit das Dingen aufzulösen, weil mich entweder das "-2ab" stört oder "a² und a bzw. b² und b". Die Lösung (durch einen Solver ermittelt) ansich müsste sein a1=2, b1=1 und a2=-1, b2=3 -> demnach die Zahlen z1=2+i und z2=-1+3i. Nur wird vernünftigerweise der Rechenweg verlangt. :/ zu 2.) Ich habe mir den Grundaufbau einer komplexen Zahl hergenommen: z=a+ib Demnach wäre: $\begin{eqnarray} \frac{1}{z} = \frac{1}{a+ib} \frac{a-ib}{a-ib} = \frac{a-ib}{a^{2} + b^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Im\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{-b}{a^{2} + b^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = a +ib \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Im\left(z\right)=b \end{eqnarray}$ Lösungsweg: $\begin{eqnarray} \frac{-b}{a^{2} + b^{2}} < b \ \ \Rightarrow \ \ -b < a^{2}b + b^{3} \ \ \Rightarrow \ \ -b - b^{3} < a^{2}b \ \ \Rightarrow \ \ -1 - b^{2} < a^{2} \ \ \Rightarrow \ \ b^{2}+1>-a^{2} \end{eqnarray}$ Wie kann ich aus diesem letzten Teil eine Lösung für die Ungleichung bestimmen. Nach einigem Probieren kam ich auf: b>0 als scheinbar einzige Bedingung. Und wenn ich eine Lösung habe, wie drücke ich diese Lösung mathematisch korrekt aus? $\begin{eqnarray} L=\left\{z \ \| \ z=a+ib, a\in \mathbb R , b\in \mathbb R , b>0\right\} \end{eqnarray*}$
25.10.2014, 19:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen (Gleichung und Ungleichung) zu 1. Du hast doch schon eine quadratische Gleichung für z gefunden $\begin{eqnarray} z^{2}i+4z-iz=5+5i \end{eqnarray}$ . Die löst man wie im Reellen. zu 2. Hier ist $\begin{eqnarray} \frac{-b}{a^{2} + b^{2}} < b \ \ \Rightarrow \ \ -b < (a^{2} + b^{2})b \end{eqnarray}$ günstiger. Jetzt kannst du durch b dividieren (Vorzeichen bedenken!) und kommst auf b>0. Die Lösungmenge wäre dann $\begin{eqnarray} \{z\in\mathbb{C}:Im(z)>0\} \end{eqnarray}$
26.10.2014, 10:13	User1.	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) Wenn ich das umstelle: $\begin{eqnarray} z^{2}i+(4-i)z+(-5-5i)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{1,2} = \frac{-4+i}{2i} \pm \sqrt{\frac{(4-i)^{2}-4i(-5-5i)}{4i²} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{1,2} = \frac{4i-1}{8} \pm \sqrt{\frac{-5+12i}{-4}} \end{eqnarray}$ Wenn ich nun irgendwie versuche die Wurzel per Polardarstellung aufzulösen, kommen äußerst merkwürdige Werte für den Winkel heraus. 2.) Wie komm ich von hier denn zu b > 0. Welche logische Überlegung habe ich übersehen? $\begin{eqnarray} -1<a^{2}+b^{2} \ ... \ b+1>-\|a\| \end{eqnarray}$
26.10.2014, 10:16	User1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beitrag stammt dort von mir. Manchmal sollte man die E-Mails auch lesen.
26.10.2014, 10:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) An der Stelle $\begin{eqnarray} z_{1,2} = \textcolor{red}{\frac{4i-1}{8}} \pm \sqrt{\frac{-5+12i}{-4}} \end{eqnarray}$ ist was schief gegangen. Du kannst die Wurzel - aus der ich noch den Nenner herausziehen würde - leichter mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} \sqrt{-5+12i}=a+ib \end{eqnarray}$ berechnen. zu 2) Für b>0 ist $\begin{eqnarray} -b < (a^{2} + b^{2})b \iff -1 < (a^{2} + b^{2}) \end{eqnarray}$ und die rechte Ungleichung ist offenbar immer richtig. Analog zeigst du, dass die Ungleichung für b<0 nie erfüllt sein kann. Und den Fall b=0 nicht vergessen.
26.10.2014, 18:25	User1	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1.) $\begin{eqnarray} z_{1,2} = {\frac{4i+1}{2}} \pm - \frac{1}{2} \sqrt{-5+12i} \end{eqnarray}$ Wie darf ich den Ansatz $\begin{eqnarray} \sqrt{-5+12i}=a+ib \end{eqnarray}$ verstehen? Wenn ich die Wurzel durch quadrieren auflöse komme ich zu: $\begin{eqnarray} -5+12i=a^{2}-b^{2} \end{eqnarray}$ - womit ich ehrlich gesagt auch herzlich wenig anfangen kann. Auch die Polardarstellung gibt merkwürdige Ergebnisse auf. 2.) Habe ich nun verstanden.
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26.10.2014, 18:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahem $\begin{align} (a+ib)^2=a^2-b^2+i2ab \end{align}$ Edit: Woher kommt das $\begin{align} -\frac 1 2 \end{align}$ vor der Wurzel?
26.10.2014, 19:38	User1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das -1/2 ist aus dem Nenner der Wurzel herausgezogen. $\begin{eqnarray} a^{2}-b^{2}+i2ab=-5+12i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (I) a^{2}-b^{2}=-5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (II) 2abi=12i \iff a=\frac{6}{b} \end{eqnarray}$ Eingesetzt: $\begin{eqnarray} \left(\frac{6}{b} \right)^{2} - b^{2}=-5 \ \iff \ 0=\frac{36}{b^{2}}-b^{2}+5 \ \iff \ 0= b^{4} - 5b^{2}-36 \end{eqnarray}$ und substituiert: x=b^2 $\begin{eqnarray} 0=x^{2}-5x-36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2}=\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{5}{2} \pm \frac{13}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1}=9 \iff b_{1}=3 \ \ \ b_{2}=-3 \end{eqnarray}$ (b2 im Endeffekt egal) $\begin{eqnarray} \iff a_{1}=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2}=-4 \ \ n.d. \end{eqnarray}$ Eingesetzt in: $\begin{eqnarray} z_{1,2} = {\frac{4i+1}{2}} \pm - \frac{1}{2} (2+3i) = {\frac{4i+1}{2}} \pm (-1-3/2i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{1}=-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \ , \ z_{2}=\frac{3}{2} + \frac{7}{2} i \end{eqnarray}$
26.10.2014, 19:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{-5+12i}=2+3i \end{eqnarray}$ ist richtig. Das -1/2 ist falsch und deswegen stimmt der Rest auch nicht mehr.
26.10.2014, 21:30	User1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die -1/4 die vorher in der Wurzel stand heraushole, was steht denn stattdessen vor der Klammer (statt: -1/2) - ich komme da auf keinen grünen Zweig irgendwie. Und liegt der einzige Fehler jetzt bei der -1/2?
26.10.2014, 21:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg mal: Ist denn $\begin{eqnarray} (-1/2)^2=-1/4 \end{eqnarray}$ ? Sicher nicht. Irgendwo steht in der Wurzel im Nenner noch $\begin{eqnarray} 4i^2 \end{eqnarray}$ statt -4, hilft das weiter? Und ja, der einzige Fehler ist jetzt der Faktor $\begin{eqnarray} -\frac 1 2 \end{eqnarray}$
26.10.2014, 22:58	User1	Auf diesen Beitrag antworten »
Also sind es 0,5i oder? Und Tatsache es kommt z1=2+i und z2=-1+3i heraus Vielen vielen Dank, ich habe echt lange auf dem Schlauch gestanden.

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