Stochastik (Ereignisse)

25.10.2014, 17:59

Malicious

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Stochastik (Ereignisse)

Meine Frage:
Gegeben sind zwei Ereginisse P(A)= 3/4 und P(B)= 1/3

(a) Zeigen Sie, dass 1/12 \leq P(A \cap B) \leq 1/3
(b) Belegen Sie durch Bsp., dass beide Schranken erreicht werden.

Wir dürfen aber noch keinen Multiplikationssatz benutzen oder so ...

Wir haben bisher definiert, Ergebnismenge, Ergebnis, Ereignis und etwas zur Komninatorik also Zählalgorithmus und Permutation und Axiome von Kolmogorow.

Meine Ideen:
Ich muss ja jetzt zunächst selbst einen Ansatz finden, ich weiß aber echt nicht wie ich anfangen soll -.-

ich hätte jetzt so angefangen zu sagen P( A \cap B) = P(A) * P(B) = 1/4
und zeige dann, dass das kleiner als 1/3 und größer als 1/12 ist aber wir haben diese Multiplikation noch nicht eingeführt ...

Ich freue mich über alle Vorschläge von euch...

25.10.2014, 18:09

Malicious

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Hier noch mal eine verbesserte Vrsion der Aufgabenstellung :-)

Gegeben sind zwei Ereginisse P(A)= 3/4 und P(B)= 1/3

(a) Zeigen Sie, dass 1/12 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ P(A $\begin{eqnarray*} \cap B \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1/3
(b) Belegen Sie durch Bsp., dass beide Schranken erreicht werden.

Wir dürfen aber noch keinen Multiplikationssatz benutzen oder so ...

25.10.2014, 19:19

tmo

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Ganz so ungeduldig musst du nicht sein. In Zukunft bitte etwas länger warten, bevor du pusht.

Begründe zunächst die Abschätzung $\begin{align*} \frac{3}{4} \leq P(A \cup B) \leq 1 \end{align*}$ und verwende dann die bekannte Formel für $\begin{align*} P(A \cup B) \end{align*}$ .

25.10.2014, 20:09

Malicious

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Hallo danke für deine Antwort.

Ich hab jetzt folgendes mittlerweile:

Die Wahrscheinlichkeiten (WK) sollen wir ja nicht genau berechnen, sondern lediglich abschätzen. sprich P( A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ P(B) = 1/3

und es ist offenbar A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B und damit folgt auch für die Abschätzung nach unten aus geeignter Anwendung der Siebformel :
P( A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) = P(A) + P(B) - P( A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B) und das P( A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B) ist der einzige Summand der unbekannt ist.

Da ich P( A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) nach unten abschätzen möchte, muss ich
P( A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B) nach oben abschätzen.

Formel umstellen : P(A) + P(B) - P( A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) = P( A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B)

Dann setze ich P( A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ P( A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 3/4 +1/3 -1 = 1/12

Die andere Abschätzung erhalte ich dannn durch A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A und A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ B

P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B ) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ P(A) = 3/4

P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B ) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ P(B) = 1/3

SOO und wie gehts jetzt weiter bei b) ich soll ja jetzt auch zeigen, dass beide schranken erreicht werden

25.10.2014, 20:12

tmo

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Schöne Lösung Freude

Freude

Genauso meinte ich das.

Dann zur b)

Als Modell bietet sich natürlich einfach eine Gleichverteilung auf der Mernge $\begin{align*} \{1,2,3 \dotsc, 12\} \end{align*}$ an.

Dann übersetzt sich die Aufgabe b) zu: Finde jeweils Teilmengen A und B mit 9 bzw. 4 Elementen derart, dass $\begin{align*} A\cap B \end{align*}$

- nur ein Element hat (entspricht WSK 1/12),

- 4 Elemente hat (entspricht WSK 1/3).

Das sollte ein Leichtes sein, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.10.2014, 20:13

Malicious

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Am Anfang meine ich A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ B ....

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25.10.2014, 20:22

Malicoius

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Hallo ah ja ok , aber deine Ausgangsmenge M besteht ja aus 12 Elementen, nun hast du mir ja gesagt ich soll z.b. A und B so wählen, das A 9 Elemente hat und B 4 Elemente hat, dann ist aber 9 + 4= 13 ... oder bringe ich da was durcheinander?

25.10.2014, 20:23

tmo

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Ja, und wo ist das Problem? A und B können offenbar nicht disjunkt sein. Das hast du doch in a) sogar schon längst gezeigt...

25.10.2014, 20:34

Malicious

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hahha ja stimmt :-D sorry bin bisschen hektisch

Ausgangsmenge M={1,2,...,12}

(i) Für die untere Schranke gilt:

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9} und B = {9,10,11,12} also ist A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B = {9} somit ist P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B ) = 1/12

(ii) Für die obere Schranke gilt:

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9} und B = {1,2,3,4} also ist A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B = {1,2,3,4} somit ist P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B ) = 1/3

richtig so?

25.10.2014, 20:34

tmo

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So passt es. smile

smile

25.10.2014, 20:46

Malicious

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super dankeee Freude

Freude

emm ich hab noch eine Aufagbe, die ist etwas allgemeiner, kannst du mir da vielleicht auch helfen? Bittte

also die sieht folgendermaßen aus: Es seien A1, A2,..., A $\begin{eqnarray*} _{n} \end{eqnarray*}$ Ereignisse mit folgenden Eigenschaften: Mit WK 1 tritt mindestens eins davon ein und die WK, dass zugleich mehr als zwei eintreten, ist 0. Es sei P(A $\begin{eqnarray*} _{k} \end{eqnarray*}$ ) =p für alle k und P(A $\begin{eqnarray*} _{i} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} _{j} \end{eqnarray*}$ ) = q, falls i $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ j.

Z.z.: dass dann p $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1/n und q $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 2/n gilt.

25.10.2014, 21:14

tmo

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Zitat:

Original von Malicious
Mit WK 1 tritt mindestens eins davon ein und die WK, dass zugleich mehr als zwei eintreten, ist 0.

Aus diesen Informationen folgt zusammen mit der Siebformel $\begin{align*} 1 = pn - q\frac{n(n-1)}{2} \end{align*}$ . Daraus kannst du die beiden Ungleichungen ableiten.

25.10.2014, 21:51

Malicious

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Hey cool du bist ja noch da :-)

äh ok also ich hab das so gemacht:

aus 1 = pn - q $\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ pn = 1+ q $\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{ 1+ q \frac {n(n-1)}{2}}{n} \end{eqnarray*}$ = p

$\begin{eqnarray*} q \frac {n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ und dieser teil stört ja, soll ich den irgendwie abschätzen? weil ich ja irgendiwe die Ungleichung herstellen muss....

25.10.2014, 21:54

tmo

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Ja, dieser Ausdruck ist ja auf jeden Fall nichtnegativ. Das liefert dir doch schon deine Abschätzung, die du brauchst.

25.10.2014, 22:06

Malicious

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ah ja ok also schreib ich einfach da
$\begin{eqnarray*} q \frac {n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 ist folgt p $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1/n

und für q dann analog?

also 1 = pn - q $\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 1- pn = $\begin{eqnarray*} -q \frac {n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{(pn-1)2}{(n-1)n} \end{eqnarray*}$ = q

$\begin{eqnarray*} \frac{(pn-1)}{(n-1)} \end{eqnarray*}$ das ist dann wieder unser Störterm und der ist $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0 also ist q $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 2/n

Ist das richtig so?

25.10.2014, 22:08

tmo

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Dieser Bruch ist doch nicht kleinergleich 0. Er ist jedoch kleinergleich 1. Und das ist ja genau das was du brauchst.

25.10.2014, 22:14

Malicious

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ok danke, du warst mir eine große Hilfe :-D

Jetzt lass ich dich in Ruhe Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2014, 21:14

hoffnungsloser_Fall

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Hallo tmo,

kannst du bitte nochmal genauer erklären, wie sich diese Formal aus der Siebformel und den beiden Bedingungen ergibt. Irgendwie steh ich da gerade total aufm Schlauch. verwirrt

verwirrt

Schöne Grüße

hoffnungsloser_Fall

29.10.2014, 08:48

HAL 9000

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Anmerkung: Man bekommt unter Nutzung von

$\begin{align*} q = P(A_i\cap A_j) = P(A_i)+P(A_j)-P(A_i\cup A_j) \geq 2p-1 \end{align*}$

eine weit bessere Abschätzung für $\begin{align*} q \end{align*}$ hin, zumindest im Fall $\begin{align*} n\geq 3 \end{align*}$ :

$\begin{align*} 2 = 2pn - n(n-1)q \leq (q+1)n - n(n-1)q = n - n(n-2)q \end{align*}$

umgestellt zu $\begin{align*} q\leq \frac{1}{n} \end{align*}$ .

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