Ordnungstopologie und euklidische Topologie auf Z

25.10.2014, 22:14	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnungstopologie und euklidische Topologie auf Z Meine Frage: Hallo Leute, ich versuche gerade mein Verständnis bezüglich der verschiedenen Topologien etwas zu schulen. Wenn ich mir mal die ganzen Zahlen ansehe, dann besitzen diese ja die übliche Ordnung: $\begin{eqnarray} ... < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... \end{eqnarray}$ So die Ordnungstopologie besteht ja aus offenen Intervallen (a,b) . Also zum Beispiel: (1,2) dieses Intervall wäre doch dann hier leer. Oder (-1,1) dieses würde dann nur die Null enthalten usw.. Wenn man sich genügend Beispiele ansieht, dann merkt mann, dass man alle Teilmengen von Z erhält. Also stimmt die Ordnungstopologie mit der diskreten Topologie über ein. Betrachtet man hingegen die ganzen Zahlen mit der euklidischen Topologie, so erhält man doch für die euklidische Topologie nur Mengen der Form $\begin{eqnarray} \{-1,0,+1\} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \{ -3,-2,-1,0,+1 \} \end{eqnarray}$ weil man ja immer eine Art Mittelpunkt und einen symmetrischen Radius hat nach links und rechts.. eine Menge wie $\begin{eqnarray} \{1,2,3\} \end{eqnarray}$ liegt zwar in der Ordnungstopologie aber nicht in der euklidischen Topologie, daher können diese auch nicht gleich sein. Meine Ideen: siehe oben. Stelle ich mir das richtig vor? Danke für die Hilfe
25.10.2014, 22:26	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was verstehst du denn unter der euklidischen Topologie auf Z? Wenn das einfach die von der euklidischen Topologie auf R induzierte Teilraumtopologie sein soll, dann ist es auch die diskrete Topologie. Z.b. ist $\begin{align} \{1\} = (0,2) \cap \mathbb Z \end{align}$ offen.
25.10.2014, 22:47	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist gerade das Problem, das ich nicht so richtig verstehe, wie die euklidische Topologie auf $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ aussehen soll. Teilraumtopologie hatten wir leider noch nicht, daher kann ich damit jetzt erstmal nichts anfangen. Ich sollte einen Teilraum $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ finden, für den die Ordnungstopologie und die euklidische Topologie verschieden sind. Da dachte ich dann an die ganzen Zahlen. Aber ich weiß nicht so richtig, wie ich die euklidische Topologie auf $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ beschreiben soll Die offnen Menge bezüglich der euklidischen Metrik sind doch: $\begin{eqnarray} O(a,\epsilon) = \{ x \in \mathbb Z \| d(x,a) < \epsilon \} \end{eqnarray}$ Ich dachte nun eben, wenn ich verschiedene Epsilon wähle erhalte für die offenen Menge bezüglich der euklidischen Metrik (oder eben für die euklidische Topologie) Mengen, wie zum Beispiel: $\begin{eqnarray} \{-1,0,1 \} \end{eqnarray}$ wenn ich beispielsweise a = 0 und $\begin{eqnarray} \epsilon = 2 \end{eqnarray}$ wähle.. liege ich da also falsch? Natürlich liegen auch die Einpunktmengen wie $\begin{eqnarray} \{ a \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ in der euklidischen Topologie, wenn man jeweils $\begin{eqnarray} \epsilon = 0.5 \end{eqnarray}$ wählt. Aber Menge wie $\begin{eqnarray} \{2,3 \} = (1,4) \cap \mathbb Z \end{eqnarray}$ liegen nicht in der euklidischen Topologie aber eben in der Ordnungstopologie, daher stimmen diese nicht überein. (auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ stimmen aber Ordungstopologie und Euklidische Topologie überein) EDIT: Um bei der Ordnungstopologie wirklich die Potenzmenge zu bekommen, also die diskrete Topologie, muss man natürlich noch Schnittbildung und Vereinigung verwenden)
25.10.2014, 22:56	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Einpunktmengen in der Topologie liegen, dann handelt es sich immer um die diskrete Topologie, weil ja jede Menge eine Vereinigung von Einpunktmengen ist. Deine Behauptung, dass diese Zweipunktmenge nicht in der Topologie liegt, ist also nicht haltbar.
25.10.2014, 23:00	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt natürlich, ist mir auch gerade aufgefallen.. Ich sammle mal meine Gedanken und melde mich dann wieder (sieht wohl so aus, als wäre die euklidische Topologie doch die selbe wie Ordnungstopologie und ich muss mir ein anderes Beispiel überlegen.. )
26.10.2014, 13:45	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir denn jemand die Vermutung bestätigen, dass die Ordnungstopologie und die euklidische Topologie auf $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ übereinstimmen? Was wäre denn ein Kandidat, den man sich mal ansehen könnte, wo das nicht der Fall ist? Also für welchen Teilraum sind die Ordnungstopo. und die euklid. Topol. verschieden? Danke für die Hilfe Sind denn auch Menge, wie $\begin{eqnarray} X = \{1,2,3 \} \end{eqnarray}$ als Teilraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ zugelassen? hier wäre doch die Ordnungstopologie $\begin{eqnarray} T_{ord} = \{ X, \emptyset, \{ 2\} \} \end{eqnarray}$ für die euklidische Topologie erhalte ich wieder die diskrete Topologie.. Also wäre das ein solcher Kandidat, wo die beiden Topologien verschieden sind.. habe gerade gemerkt, dass das auch nicht funktioniert, weil ich hier auch Intervalle der Form $\begin{eqnarray} (2,\infty) \end{eqnarray}$ betrachten muss, wofür aber gilt: $\begin{eqnarray} (2,\infty) = \{ 3 \} \end{eqnarray}$ zumindest hier Letzlich wird es wohl keinen diskreten Teilraum geben, auf welchem die beiden Topologien verschieden sind. Nun versuche ich es mal mit Mengen die einen oder mehrere Häufungspunkte haben..
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22.06.2015, 16:14	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, ich habe gerade mal diesen alten Beitrag von mir nochmal angeschaut und wollte das jetzt noch zu Ende führen. Ich betrachte jetzt mal die Menge $\begin{eqnarray} A :=\{ 2^{-k}\|k\in \mathbb N \} \cup \{0\} \end{eqnarray}$ Diese Menge besitzt Null als einzigen Häufungspunkt. Würde ich nur die Menge $\begin{eqnarray} A \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ betrachten, so wäre diese Menge ja diskret. Ihre eukldische Topologie (als Teilraumtopolgie) wäre dann die diskrete Topologie. Diese Menge $\begin{eqnarray} A \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ erbt natürlich auch die Ordnung von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und es gilt: $\begin{eqnarray} 1/2 > 1/4 > 1/8 > .... \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt wieder die Ordnungstopologie betrachte, so erhalte ich wieder die diskrete Topologie. Nun nehme ich aber den Häufungspunkt dazu, und setze dir Ordnung wie folgt fort. $\begin{eqnarray} 0 < 2^{-k} \ \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ (also wie üblich) Nun ist die Ordnungstopologie doch weiterhin diskret (hier bin ich mir nicht 100% sicher) aber in der euklidischen Topologie ist $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ nicht mehr offen, also ist die euklidische nicht mehr die diskrete Topologie . stimmt die Überlegung mit der Menge mit dem Häufungspunkt? Ist die Ordnungstopologie wirklich noch die indiskrete Topologie nach dem Hinzufügen des Häufungspunktes? Danke für die Hilfe EDIT: Mittlerweile habe ich herausgefunden, dass ich mit meiner Annahme, dass die Ordnungstopologie die diskrete Topologie auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist falsch lag. Wenn ich dort diese elementar offenen Intervalle betrachte, dann lasse ich ja auch $\begin{eqnarray} (-\infty,2^{-k}) \end{eqnarray}$ zu. In jedem dieser Intervalle liegt die $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ drin, aber auch immer noch ein weitere Zahl. Die Null ist also nicht mehr isoliert. Die Ordnungstopologie entspricht also auch hier der euklidischen Topologie. Aber jetzt nehme ich Statt der Null die $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ dazu $\begin{eqnarray} B:= \{ -1 \} \cup \{ 2^{-k}\|k \in \mathbb N \} \end{eqnarray}$ Dann erhalte ich auf B durch die euklidische Topologie mal wieder die diskrete Topologie, aber bzgl. der Ordnungstopologie ist \{ -1 \} nicht offen. Hier argumentiert man wie für die Null. Also habe ich endlich meinen Raum gefunden, auf dem die euklidische - und Ordnungstopologie nicht übereinstimmen.

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