Anzahl bijektiver Abbildungen |
| 26.10.2014, 16:18 | Hugemann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Anzahl bijektiver Abbildungen Aufgabe: Zu zwei nicht-leeren endlichen Mengen M und N mit |M|=|N|=n betrachten wir die Menge aller bijektiven Abbildungen von M nach N. Zeigen Sie durch vollständige Induktion über n, dass es genau n! verschiedene bijektive Abbildungen f:M->N gibt. Meine Ideen: Ich weiß, dass man es erst für n=1 zeigen würde und dann mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung für n+1. Aber kann man nicht auch anders argumentieren? Wenn man n+1 Elemente in M hat und n+1 Elemente in N, dann gibt es genau n+1 Möglichkeiten das erste Element der Menge M auf ein Element in N abzubilden. Für das zweite Element in M gibt es dann nur noch n Möglichkeiten einer Abbildung. Also gibt es bisher (n+1)*n Möglichkeiten für die Abbildung der ersten zwei Elemente. Für das dritte Element gibt es noch n-1 Möglichkeiten usw. Das macht man so lange weiter bis man bei dem letzten Element in M ist, für das es nur noch eine Möglichkeit der Abbildung gibt. Also hat man am Ende (n+1)! bijektive Abbildungsmöglichkeiten von M nach N. Wäre das nicht ausreichend und gleichzeitig ein induktiver Beweis? Beste Grüße, Hugemann |
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| 26.10.2014, 16:39 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Anzahl bijektiver Abbildungen Dein Beweis ist richtig, und meiner Meinung nach auch weit eleganter, allerdings ist das eben kein Beweis durch vollständige induktion. Wenn diese also explizit verlangt ist dann musst du diese auch verwenden. PS: Bei deinem Beweis solltest du die Behauptung lieber für statt für zeigen. |
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| 26.10.2014, 16:57 | Hugemann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, dann weiß ich bescheid. 
Dankeschön!! |
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| 27.10.2014, 11:33 | Tuling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest Deine Prosa noch exakt mathematisch ausdrücken. D.h. ungefähr so, daß am Ende die Zuordnung 'Möglichkeiten bei Betrachtung von 1.-tes Element' -> 'Mögl. b. B. v. 2-tes El.' dasteht. Und das allg. für n Elemente. Die Zuordnung n -> Möglichkeiten muß dann gleich n -> n! sein. |
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| 27.10.2014, 15:38 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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