Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume

26.10.2014, 16:30

Tiger_Tiger

Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume

Meine Frage:
Hallo,

habe gerade mein Mathestudium angefangen, also erst mal hallo an alle! Wink

bei folgender Aufgabe weiß ich einfach nicht weiter:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} K[x]:=\left\{ \sum\limits_{i=0}^n a_{i}x^{i} | a_{i} \in K, n\in \mathbb N _{0} \right\} \end{eqnarray*}$ die Menge der Polynome in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Hierbei handelt es sich um einen $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.

Für welche $\begin{eqnarray*} c \in K \end{eqnarray*}$ ist die folgende Menge ein linearer Unterraum in $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} M:= \left\{p \in K[x] | p(1)=c \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich gehe davon aus, dass $\begin{eqnarray*} p(1) \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass ich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ 1 einsetze, oder?
$\begin{eqnarray*} c \in K \end{eqnarray*}$ sind ja die Koeffizienten des Polynoms, also wäre $\begin{eqnarray*} p(1)=c \end{eqnarray*}$ , wenn das Polynom nur aus einem Element $\begin{eqnarray*} a_{1}x^{1} \end{eqnarray*}$ besteht.
Bin mir aber überhaupt nicht sicher, ob das soweit stimmt... Erstaunt2

Schon mal Danke für eure Hilfe.

Grüße,
Tiger_Tiger

26.10.2014, 16:35

Math1986

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume

Zitat:

Original von Tiger_Tiger
Meine Ideen:
Ich gehe davon aus, dass $\begin{eqnarray*} p(1) \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass ich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ 1 einsetze, oder?

Richtig.

Zitat:

Original von Tiger_Tiger
$\begin{eqnarray*} c \in K \end{eqnarray*}$ sind ja die Koeffizienten des Polynoms

Nein, schau dir doch mal das gegebene Polynom an;
$\begin{eqnarray*} K[x]:=\left\{ \sum_{i=0}^n a_ix^i| a_i\in K, n\in \mathbb N _{0} \right\} \end{eqnarray*}$
Was sind denn die Koeffizienten des Polynoms $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n a_ix^i \end{eqnarray*}$ ?

Das $\begin{eqnarray*} c\in K \end{eqnarray*}$ ist, wie es schon in der Aufgabenstellung steht, beliebig gewählt, man könnte es auch mit einem anderen Buchstaben bezeichnen.

Deine Aufgabe ist es nun, zu untersuchen, für welche $\begin{eqnarray*} c\in K \end{eqnarray*}$ die gegebene Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein linearer Unterraum ist. Dazu musst du also die Unterraumaxiome überprüfen.

26.10.2014, 16:54

Tiger_Tiger

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume
Erstmal danke für deine Hilfe Augenzwinkern

Also die Koeffizienten des Polynoms, sind dann wohl $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$
Aber wofür genau steht denn jetzt das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ? Kann mir das grad nicht vorstellen...

26.10.2014, 16:55

Math1986

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume

Zitat:

Original von Tiger_Tiger
Aber wofür genau steht denn jetzt das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ? Kann mir das grad nicht vorstellen...

Dazu hatte ich ja schon etwas geschrieben:

Zitat:

Das $\begin{eqnarray*} c\in K \end{eqnarray*}$ ist, wie es schon in der Aufgabenstellung steht, beliebig gewählt, man könnte es auch mit einem anderen Buchstaben bezeichnen.

Deine Aufgabe ist es nun, zu untersuchen, für welche $\begin{eqnarray*} c\in K \end{eqnarray*}$ die gegebene Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein linearer Unterraum ist. Dazu musst du also die Unterraumaxiome überprüfen.

Es ist einfach irgendein beliebiges Element aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

26.10.2014, 17:10

Tiger_Tiger

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume
Ok, aber ist dann $\begin{eqnarray*} p(1) \end{eqnarray*}$ nicht immer $\begin{eqnarray*} \in K \end{eqnarray*}$ ?
Tut mir Leid, aber ich steh grad total auf dem Schlauch...

26.10.2014, 17:28

Math1986

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume

Zitat:

Original von Tiger_Tiger
Ok, aber ist dann $\begin{eqnarray*} p(1) \end{eqnarray*}$ nicht immer $\begin{eqnarray*} \in K \end{eqnarray*}$ ?

Doch, aber es ist eben nicht immer $\begin{eqnarray*} p(1)=c \end{eqnarray*}$ für fest vorgegebenes $\begin{eqnarray*} c\in K \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir doch mal beispielsweise $\begin{eqnarray*} K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Wählen wir $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} M:= \left\{p \in K[x] \mid p(1)=0 \right\} \end{eqnarray*}$
Wählen wir $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} M:= \left\{p \in K[x] \mid p(1)=1 \right\} \end{eqnarray*}$
und so weiter.

Es ist wohl sinniger, die Mengen mit einem Index zu versehen, also:
$\begin{eqnarray*} M_c:= \left\{p \in K[x]\mid p(1)=c \right\} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} c\in K \end{eqnarray*}$

26.10.2014, 18:51

Tiger_Tiger

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume
Achso.
Dann ist hier aber nur $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ein Unterraum, weil ja z.B. für $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ das 2. Axiom verletzt wird und für die Summen mehrer Polynome nicht $\begin{eqnarray*} p(1)=1 \end{eqnarray*}$ gilt, oder?

26.10.2014, 18:55

Math1986

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume

Zitat:

Original von Tiger_Tiger
Dann ist hier aber nur $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ein Unterraum, weil ja z.B. für $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ das 2. Axiom verletzt wird und für die Summen mehrer Polynome nicht $\begin{eqnarray*} p(1)=1 \end{eqnarray*}$ gilt, oder?

bitte genauer: Warum wäre das zweite Axiom verletzt? Beispiel?

26.10.2014, 19:04

Tiger_Tiger

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume
Also, wenn ich 2 Polynome nehme, z.B. $\begin{eqnarray*} x^{m}, x^{n} \in M_{1} \end{eqnarray*}$ und diese addiere: $\begin{eqnarray*} x^{m} + x^{n} => p(1)=1+1=2=> x^{m} + x^{n} \notin M_{1} \end{eqnarray*}$

26.10.2014, 19:07

Math1986

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume

Zitat:

Original von Tiger_Tiger
Also, wenn ich 2 Polynome nehme, z.B. $\begin{eqnarray*} x^{m}, x^{n} \in M_{1} \end{eqnarray*}$ und diese addiere: $\begin{eqnarray*} x^{m} + x^{n} => p(1)=1+1=2=> x^{m} + x^{n} \notin M_{1} \end{eqnarray*}$

Ja, richtig. Nun versuch mal zu beweisen dass $\begin{eqnarray*} M_0 \end{eqnarray*}$ tatsächlich ein Untervektorraum ist.

26.10.2014, 19:27

Tiger_Tiger

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume
Ok, 1. $\begin{eqnarray*} M_{0} \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} 0x^{1} \in M_{1} \end{eqnarray*}$

2. Damit $\begin{eqnarray*} p(1)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, muss $\begin{eqnarray*} a_{i}=0 \end{eqnarray*}$ sein.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n 0x^{i} = 0x^{0}+0x^{1}+0x^{2}+...+0x^{n} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => p_{1},p_{2} \in M_{1} => p_{1} + p_{2} \in M_{1} \end{eqnarray*}$

3. Für beliebiges $\begin{eqnarray*} \alpha \in K \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \alpha \sum\limits_{i=0}^n 0x^{i} = \sum\limits_{i=0}^n \alpha 0x^{i} = \sum\limits_{i=0}^n 0x^{i} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => p \in M_{1}, \alpha \in K => \alpha p \in M_{1} \end{eqnarray*}$

26.10.2014, 19:42

Math1986

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume

Zitat:

Original von Tiger_Tiger
Ok, 1. $\begin{eqnarray*} M_{0} \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} 0x^{1} \in M_{1} \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} M_0 \end{eqnarray*}$ meinst dann ja.

Zitat:

Original von Tiger_Tiger
2. Damit $\begin{eqnarray*} p(1)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, muss $\begin{eqnarray*} a_{i}=0 \end{eqnarray*}$ sein.

Du meinst dass das für alle $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ gelten muss, dass also $\begin{eqnarray*} M_0 \end{eqnarray*}$ nur aus dem Nullpolynom besteht? Das ist falsch, betrachte z.B. das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=x-1\in\mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$

26.10.2014, 20:19

Tiger_Tiger

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume
Stimmt, dann also:
2. $\begin{eqnarray*} p_{1}, p_{2} \in M_{0} \end{eqnarray*}$ Ich weiß, dass jeweils bei $\begin{eqnarray*} p_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_{2} \end{eqnarray*}$ die Summe der $\begin{eqnarray*} a_{i}=0 \end{eqnarray*}$ sein muss, damit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
$\begin{eqnarray*} p_{3} = p_{1} + p_{2} = \sum\limits_{i=0}^n a_{i} x^{i} + \sum\limits_{i=0}^m a_{i} x^{i} = a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} +. .. + a_{n}x^{n} + a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} +. .. + a_{m}x^{m} \end{eqnarray*}$
Also muss auch bei $\begin{eqnarray*} p(3) \end{eqnarray*}$ die Summe der $\begin{eqnarray*} a_{i}=0 \end{eqnarray*}$ sein.

$\begin{eqnarray*} p_{3}(1)=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}+a_{0}+a_{1}+...+a_{m}=0+0=0 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \alpha \sum\limits_{i=0}^n a_{i}x^{i} = \alpha(a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+...+a_{n}x^{n}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(1) = \alpha (a_{0}+a_{1}+...a_{n}) \end{eqnarray*}$
Da ich weiß, dass die Summe der $\begin{eqnarray*} a_{i}=0 \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} p(1)=0 \end{eqnarray*}$ .

26.10.2014, 20:29

Math1986

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume

Zitat:

Original von Tiger_Tiger
Stimmt, dann also:
2. $\begin{eqnarray*} p_{1}, p_{2} \in M_{0} \end{eqnarray*}$ Ich weiß, dass jeweils bei $\begin{eqnarray*} p_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_{2} \end{eqnarray*}$ die Summe der $\begin{eqnarray*} a_{i}=0 \end{eqnarray*}$ sein muss, damit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
$\begin{eqnarray*} p_{3} = p_{1} + p_{2} = \sum\limits_{i=0}^n a_{i} x^{i} + \sum\limits_{i=0}^m a_{i} x^{i} = a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} +. .. + a_{n}x^{n} + a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} +. .. + a_{m}x^{m} \end{eqnarray*}$
Also muss auch bei $\begin{eqnarray*} p(3) \end{eqnarray*}$ die Summe der $\begin{eqnarray*} a_{i}=0 \end{eqnarray*}$ sein.

$\begin{eqnarray*} p_{3}(1)=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}+a_{0}+a_{1}+...+a_{m}=0+0=0 \end{eqnarray*}$

Du meinst $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} p(3) \end{eqnarray*}$ ?

Ein anderer Fehler ist es, dass du die Koeffizienten beider Polynome mit $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ bezeichnest, obwohl es verschiedene Koeffizienten sind. Nenne die einen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ und die anderen $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Tiger_Tiger
3. $\begin{eqnarray*} \alpha \sum\limits_{i=0}^n a_{i}x^{i} = \alpha(a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+...+a_{n}x^{n}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(1) = \alpha (a_{0}+a_{1}+...a_{n}) \end{eqnarray*}$
Da ich weiß, dass die Summe der $\begin{eqnarray*} a_{i}=0 \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} p(1)=0 \end{eqnarray*}$ .

Jap.

26.10.2014, 20:35

Tiger_Tiger

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RE: Menge der Polynome als Vektorraum, Unterräume
Super, ganz herzlichen Dank! Freude

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