Beweis über Körper (K^n, *) von K

26.10.2014, 19:47

leitwolf

Beweis über Körper (K^n, *) von K

Guten Abend Leute,

wahrscheinlich gehts mir wie vielen. Erste LinA-Vorlesung an der Uni gehabt und erstmal nichts verstanden. Tage gebraucht um die Beispielaufgaben zu lösen und jetzt bin ich mir bei einigen Sachen so verdammt unsicher, dass ich einfach jemanden fragen muss. Falls mein Ansatz falsch ist, wovon ich ausgehe, bitte ich um einen Schubs in die richtige Richtung.

Aufgabenstellung:

Für einen Körper K ist $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ die Menge der n-tupel von Elementen aus K. Sei n > 1. Addition und Multiplikation werden in $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ kompnentenweise definiert:

$\begin{eqnarray*} \left(x_{1},...,x_{n}\right) + \left(y_{1},...,y_{n}\right) := \left(x_{1} + y_{1} ,...,x_{n} + y_{n} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x_{1},...,x_{n}\right) * \left(y_{1},...,y_{n}\right) := \left(x_{1}y_{1} ,...,x_{n}y_{n} \right) \end{eqnarray*}$

Beweisen oder widerlegen Sie: $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ ist (1) mit + eine abelsche Gruppe, (2) mit + und * ein Körper.

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Soweit so gut. Ich konnte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ hinsichtlich der Addition eine abelsche Gruppe ist. Allerdings weiß ich von anderen Kommilitonen bereits, dass $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ hinsichtlich der Multiplikation kein Körper sein kann, da es bzgl. (*) kein inverses Element gibt und ich verstehe einfach nicht wieso.

Wenn $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ aus Elementen aus K besteht und K ein Körper ist, dann muss es doch in $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ auch inverse Elemente geben (können)?

Angenommen folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(x_{1},...,x_{n}\right) * \left(x_{1},...,x_{n}\right)^{-1} = \left(1_{1} ,...,1_{n} \right) \end{eqnarray*}$

...ist dann nicht das inverse Element nachgewiesen?

Wie gesagt, über einen Schubs würde ich mich sehr freuen. Danke!!

26.10.2014, 19:55

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RE: Beweis über Körper (K^n, *) von K
Gibt es zu jedem Element von K ein Inverses?

26.10.2014, 20:00

leitwolf

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Zu jedem Element von K, bis auf die 0.

Edit: Heißt das, wenn die 0 Element meines Tupels wäre, würde ich mit ^-1 durch 0 teilen und das ist unmöglich?

26.10.2014, 20:13

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Das ist die Idee Freude

26.10.2014, 20:15

leitwolf

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Daaaaaaaaaaaaaanke!! Gott

26.10.2014, 20:36

leitwolf

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Eine Frage hätte ich doch noch. Angeblich kann man an der Größe des n-Tupels n>1 schon erkennen, dass es bzgl. der Multiplikation nicht hinhaut. Ich verstehe nicht wieso? Wenn ich nur ein Element habe, könnte dieses doch auch 0 sein oder nicht?

26.10.2014, 20:44

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Ja, das kann man direkt erkennen.
Wenn du nur ein Element hast, also n=1, dann ist $\begin{eqnarray*} K=K^n \end{eqnarray*}$ und dort gibt es eine Inverse..

Zitat:

Zu jedem Element von K, bis auf die 0.

Im Fall n=1 hast du also kein Beispiel eines von Null verschiedenen, nicht invertierbaren Elementes gefunden (das gibt's natürlich auch nicht, weil K als Körper vorausgesetzt ist).
Viell hilft es, wenn du überlegst, was eigentlich das Nullelement in $\begin{eqnarray*} K^n, n>1, \end{eqnarray*}$ ist

26.10.2014, 20:56

leitwolf

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Hmm, da hat es noch nicht geklickt. Verdammt Big Laugh

.

Also das Nullelement in $\begin{eqnarray*} K^{n}, n>1 \end{eqnarray*}$ ist meiner Meinung nach: $\begin{eqnarray*} \left(0_{1} ,...,0_{n} \right) \end{eqnarray*}$

Edit: Also ich verstehe jetzt schon, dass $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K^{n}, n=1 \end{eqnarray*}$ gleich wären.

26.10.2014, 21:06

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Und in K^n ist ein vom Nullelement verschiedenes, nicht invertierbares Element z.B. (0,1,1,..).
In einem Tupel kannst du immer dann eine 0 und eine von 0 verschiedene Zahl unterbringen, wenn das Tupel mindestens n>1 Elemente hat. Deswegen ist K^n für n>1 kein Körper.

26.10.2014, 21:16

leitwolf

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Der Knoten ist geplatzt. Mein Gott, das hat gedauert. Danke, danke, danke! Ich hab einfach nicht verstanden, dass ein Tupel mit 10*0 die Voraussetzung n>1 nicht erfüllt. Danke!!

Nee, ist doch Blödsinn Big Laugh

. Ich glaube ich setze mich da morgen noch mal dran. Danke Big Laugh

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