xa+yb=c lösbar mit x, y aus den ganzen Zahlen <=> ggT(a,b)|c

27.10.2014, 20:57	Hugemann	Auf diesen Beitrag antworten »
xa+yb=c lösbar mit x, y aus den ganzen Zahlen <=> ggT(a,b)\|c Meine Frage: Aufgabe: Es seien zwei natürliche Zahlen a und b gegeben. Zeigen Sie, dass für eine beliebige natürliche Zahl c die beiden folgende Eigenschaften äquivalent sind: (i) Die Gleichung xa+by=c ist in ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ lösbar. (ii) c ist ein vielfaches von ggT(a,b). Meine Ideen: (ii)=>(i) hab ich schonmal, das war kein Problem ... Mit (i)=>(ii) hab ich so meine Schwierigkeiten und um ehrlich zu sein auch noch gaar keinen Ansatz. Hier ein paar Definitionen die hilfreich sein könnten: Definition 1: $\begin{eqnarray} g\|a<=>\exists q\in \mathbb Z : c=qg \end{eqnarray}$ Definition 2: Der ggT lässt sich darstellen als g=xa+yb Definition 3: $\begin{eqnarray} g\|a \wedge g\|b<=>d\in \mathbb Z , d\|a \wedge d\|b => d\|g \end{eqnarray*}$ Jemand nen Tipp? Danke im voraus und besten Gruß!
27.10.2014, 23:16	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: xa+yb=c lösbar mit x, y aus den ganzen Zahlen <=> ggT(a,b)\|c Angenommen, xa+by=c ist lösbar in Z. a und b haben ja auf jeden Fall einen ggT. Nennen wir den mal g. Dann gibt es natürliche Zahlen v,w mit a=vg und b=wg. Setz das mal in deine Ursprungsgleichung ein.
27.10.2014, 23:19	Hugemann	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohhhh man! Ja natürlich, g ausklammern und dann hat mans Super, vielen lieben dank!!
27.10.2014, 23:28	Hugemann	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss man noch zeigen, dass c größer gleich g ist?
27.10.2014, 23:40	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö. $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ sind natürliche Zahlen. Du hast schon $\begin{eqnarray} g \mid c \end{eqnarray}$ gezeigt. $\begin{eqnarray} c \geq g \end{eqnarray}$ folgt dann doch automatisch. Oder wie soll eine größere natürliche Zahl eine kleinere natürliche Zahl teilen?
27.10.2014, 23:42	Hugemann	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ja klar Vielen, vielen Dank nochmal!
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