Dichtefunktion

28.10.2014, 13:50

mathefrage123

Dichtefunktion

Meine Frage:
Wie zeige ich, ob eine Funktion eine Dichtefunktion definiert?

Meine Ideen:
zuerst muss ich das Integral bilden, aber wie muss das Integral sein, damit es sich um eine Dichtefunktion handelt?

Bsp.: $\begin{eqnarray*} f(x) = (a+1)x^a \end{eqnarray*}$

28.10.2014, 13:52

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Dichtefunktion ist, müssen zwei Dinge erfüllt sein:
$\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$

28.10.2014, 13:57

mathefrage123

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss das Integral immer von -unendlich bis unendlich sein?
In meiner Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} \Omega = [0,1] \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

28.10.2014, 14:01

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei einer eindimensionalen Dichtefunktion muss man immer das Integral von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ berechnen.

Natürlich kann es vorkommen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ z.B. außerhalb der Menge $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gleich 0 ist. Dann wäre $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, dx = \int_0^1 \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ .
Aber grundsätzlich bestimmt man immer das Integral von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

28.10.2014, 14:09

mathefrage123

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also das Integral meiner Funktion ist $\begin{eqnarray*} x^{(a+1)} \end{eqnarray*}$ .
Wie kann ich jetzt darauf kommen, dass dies =1 sein kann?

28.10.2014, 14:25

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal legen wir fest, dass $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sein soll (sonst würden wir bei $\begin{eqnarray*} x^a \end{eqnarray*}$ Probleme mit negativen x kriegen).

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, dx =\lim_{c\to -\infty}\lim_{d\to\infty} \int_c^d \! (a+1)x^a \, dx =\lim_{c\to -\infty}\lim_{d\to\infty} \left(d^a-c^a\right) \end{eqnarray*}$ .
Existiert dieser Grenzwert?

28.10.2014, 14:34

mathefrage123

Auf diesen Beitrag antworten »

ja der Grenzwert existiert, da ein negatives c subtrahiert werden soll, die 2 "minus-Zeichen" sich aber "aufheben" und deshalb addiert wird.
Allerdings wäre bei mir dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{c \to -\infty } \lim_{d \to \infty } (d^a-c^a) = \infty \end{eqnarray*}$ und nicht 1 verwirrt

28.10.2014, 14:40

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst aufpassen, ob das a gerade oder ungerade ist.

Für negatives a ist $\begin{eqnarray*} \lim_{c\to- \infty} c^a=-\infty, \lim_{d\to\infty} d^a=\infty \end{eqnarray*}$ , also haben wir den "uneigentlichen Grenzwert" $\begin{eqnarray*} \lim_{c\to -\infty}\lim_{d\to\infty} \left(d^a-c^a\right)=\infty \end{eqnarray*}$ .

Für gerades a ist $\begin{eqnarray*} \lim_{c\to- \infty} c^a=\infty, \lim_{d\to\infty} d^a=\infty \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \lim_{c\to -\infty}\lim_{d\to\infty} \left(d^a-c^a\right) \end{eqnarray*}$ ein unbestimmter Ausdruck (" $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ ").

In beiden Fällen ist der Grenzwert jedenfalls nicht 1, und damit ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Dichtefunktion.
Man kann das auch folgendermaßen sehen: Falls das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ existiert (also einen endlichen Wert hat), dann muss gelten: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Das ist aber für $\begin{eqnarray*} f(x) = (a+1)x^a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ nicht der Fall. Also kann das Integral keinen endlichen Wert haben.

28.10.2014, 14:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathefrage123
Bsp.: $\begin{eqnarray*} f(x) = (a+1)x^a \end{eqnarray*}$

[...]

In meiner Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} \Omega = [0,1] \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

Ich nehme an, in der vorliegenden Aufgabe ist $\begin{align*} f \end{align*}$ nicht die Dichte einer Zufallsgrößen, sondern die Dichte des Wahrscheinlichkeitsmaßes $\begin{align*} P \end{align*}$ (bzgl. des Lebesguemaßes) auf $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ .

In diesem Fall muss $\begin{align*} f \end{align*}$ auch nur auf $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ - hier also auf $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ - gegeben sein, außerhalb dieses Intervalls macht es schlicht keinen Sinn.

Gefordert wird hier also tatsächlich nur

$\begin{align*} \int\limits_{\Omega} f(x) ~ \dd x = \int\limits_0^1 f(x) ~ \dd x = 1 \end{align*}$ .

P.S.: Oder um es nochmal deutlich zu sagen: Euer Rumrechnen mit den Grenzwerten von $\begin{align*} (a+1)x^a \end{align*}$ für $\begin{align*} x\to \pm\infty \end{align*}$ ist nichts als reine Zeitverschwendung. Augenzwinkern

28.10.2014, 14:55

mathefrage123

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also ist dann $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x^{a+1} \end{eqnarray*}$ von 0 bis 1 immer 1 ist.

Wie kann ich a dann jetzt so bestimmen, dass für das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß P gilt, dass $\begin{eqnarray*} P[(0,\frac{1}{2} )]= \frac{1}{1000} \end{eqnarray*}$ ist?

28.10.2014, 15:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle messbaren Mengen $\begin{align*} A\subset \Omega \end{align*}$ , also $\begin{align*} A\subset [0,1] \end{align*}$ ist dein Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{align*} P \end{align*}$ ja definiert als

$\begin{align*} P[A] = \int\limits_A f(x) ~ \dd x \end{align*}$ ,

damit solltest du doch $\begin{align*} P\left[ \left(0,\frac{1}{2}\right)\right] \end{align*}$ durch Integralberechnung über dieses Intervall bestimmen können!

28.10.2014, 15:09

Mathefrage123

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, Dankeschön! smile

Neue Frage »

Antworten »

Dichtefunktion

Verwandte Themen