Überprüfung der Gruppenaxiome für eine Menge von Abbildungen |
| 28.10.2014, 20:46 | Ny123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Überprüfung der Gruppenaxiome für eine Menge von Abbildungen Hallo! Ich soll für vier Mengen eine Überprüfung der Gruppenaxiome durchführen, mir ist aber noch nicht klar wie das funktionieren soll. Hier ist die Aufgabe: * : G x G -> G, (f,g) -> f * g, wobei die Funktion ist, die punktweise durch (f * g)(x):= f(x) * g(x) für x element R definiert ist. Ich bin über jede Hilfe dankbar! Meine Ideen: Nun weiß ich, das eine Gruppe drei Axiome "besitzen" muss, um eine Gruppe zu sein. Ich versuche dies nun anhand des Beispiels zu erläutern: 1) Die Gruppe ist assoziativ: Punktweise definiert = Multiplikation? So gilt: (f(x)) * g(x)) * h(x) = f(x) * (g(x) * h(x)) 2) Es existiert ein neutrales Element: Ich würde sagen, das neutrale Element wäre die Identität von einer der Abbildungen? Ich bin mir aber nicht ganz sicher wie ich das aufschreiben soll. 3) Es existiert ein inverses Element: Dazu würde ich statt g(x) einfach f^-1(x) schreiben. Ist dies so gültig? |
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| 28.10.2014, 21:39 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Überprüfung der Gruppenaxiome für eine Menge von Abbildungen
Neutrales Element (ich nenne es mal h) bedeutet doch: f(x)*h(x)=f(x) für alle f aus G. Mit der identischen Abbildung meintest du h(x)=x oder wie? Das passt hier nicht. Vielleicht kann man sich die Arbeit auch sparen. Dazu kommen wir aber später. Erst einmal:
Was soll "f^-1(x)" denn sein? Bedenke: Diese Verknüpfung schafft keine Komposition f(g(x)), sondern multpliziert die Funktionswerte punktweise. |
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| 28.10.2014, 22:04 | Ny123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hätte da an die Umkehrfunktion gedacht.. Wahrscheinlich scheitert es bei mir schom bei dem "multipliziert punktweise". Wie wäre es mit: x * y. Danm wäre das inverse Element 1/x? LG und danke für die schnelle Antwort! |
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| 28.10.2014, 22:10 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Umkehrfunktion ist hier fehl am Platze. Wir bilden ja keine Komposition, wie multiplizieren die Funktionen miteinander. Umkehrbar ist eine Funktion ohnehin nur, wenn sie bijektiv ist. Und in G liegen ja nicht nur bijektive Abbildungen.
Inverses Element wovon? 
Unsere Elemente sind alles Abbildungen. Wenn du eine Abbildung f(x) hernimmst: Wie müsste das Inverse aussehen? Und gibt es vielleicht Schwierigkeiten bei der Bildung eines Inversen? |
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| 29.10.2014, 08:05 | Ny123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi! ich muss mir das mal verdeutlichen. Sei f (x)=x also eine Abbildung. Und g (x)=2x. Punktweise multipliziert bedeutet dann f (x) * g (x) = x * 2x. Inverses Element einer Abbildung wäre dann f (1/x), bzw f (x)=1/x. Dies wäre im obigen Fall aber gar nicht gültig, weil ja dann 2 übrig bleiben würde und nicht 1. Also gibt es gar kein inverses Element für alle Abbildungen? Vielem Dank für deine Hilfe und deine Geduld mit mir! |
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| 29.10.2014, 19:49 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Überprüfung der Gruppenaxiome für eine Menge von Abbildungen Ein inverses Element zu einer Abbildung f(x) wäre einfach die Abbildung g(x)=1/(f(x)) Denn: für alle x. Das ergibt dann die "konstante" Abbildung, die alles auf die 1 schickt. Also h(x)=1. Die ist natürlich auch das neutrale Element bezüglich dieser punktweisen Multiplikation: Die Frage ist jetzt aber eben, ob wirklich jede Abbildung f(x) so ein Inverses 1/f(x) hat. Was ist denn z.B. wenn f(x) eine Nullstelle besitzt? Was ist dann mit 1/f(x) Du kannst ja ruhig mal beim Beispiel f(x)=x bleiben. Wie sieht eine vermeintliche Inverse dann aus? Und ist das wirklich eine Abbildung von R nach R, also eine, die in G liegt? |
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| 29.10.2014, 20:49 | Ny123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, nachdem ich deine Antwort gelesen hab ergibt das alles auch viel mehr Sinn.. man kann sich manchmal auch anstellen.. 
Allerdings steh ich bei diesem vermutlichen "Gegenbeispiel" immer noch auf dem Schlauch. Meine Idee: Die Inverse ist f(x)=y. Und das ist natürlich keine Abbildung. Sondern eher.. ich mal "ein Strich in der Landschaft". Meinst du das? Ansonsten bin ich wohl immer noch nicht auf den springenden Punkt gekommen. LG |
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| 29.10.2014, 21:00 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Makes no sense. Was soll y sein? Bei "Inverse" denkst du offenbar immer noch sofort an die Umkehrfunktion. Vergiss am besten, dass du diesen Begriff kennst. Sowas kennen wir innerhalb von G gar nicht. Da wird nur multipliziert. Eine Funktion "umkehren" steht dir hier gar nicht zur Verfügung. Die Verknüpfung von zwei Funktionen ist hier einfach die punktweise Multiplikation. Und das ist die einzige Verknüpfung, die wir hier haben. Und damit es eine Gruppe gibt, muss eben jede Abbildung auch ein Inverses haben ("Invers" hier nicht im Sinne von "Umkehrfunktion" sondern im Sinne der punktweisen Multiplikation, dass also bei der Bildung dieses Produktes gerade das neutrale Element - in diesem Fall die "Einsabbildung", herauskommt. Das Inverse von z.B. f(x)=x müsste g(x)=1/x sein. Das Inverse von z.B. h(x)=sin(x) müsste j(x)=1/(sin(x)) sein. Damit bei der Bildung des Produktes eben die Einsabbildung herauskommt. So ist doch das Inverse Element allgemein definiert. Element verknüpft mit Inversem ergibt das neutrale Element. Und da muss man natürlich beachten, wie die Verknüpfung überhaupt aussieht. Umkehrfunktion hätten wir nehmen müssen, wenn wir die Funktionen verketten würden. Das tun wir aber gar nicht. Wir multiplizieren sie punktweise. Und erhalten so dann eine neue Funktion. Und jetzt nochmal die Frage, ob eben überhaupt jede Abbildung ein Inverses besitzt. Die beiden Beispiele, die ich genannt habe, z.B. nicht. Warum nicht? Einen Hinweis hatte ich schon fallenlassen. Ist z.B. g(x)=1/x oder j(x)=1/(sin(x)) überhaupt eine Abbildung, die in G drin liegt? |
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| 29.10.2014, 21:21 | Ny123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, dein Text hat mir jetzt endlich mal die Augen geöffnet und das böse U-Wort werde ich jetzt sofort vergessen. Voraussetzung: Ich nehme jetzt mal g(x)=1/x. Diese Abbildung kann kein Inverses sein, weil sie nicht in G liegt. Hoffentlich richtige Begründung: In G sind alle Funktionen die von |R nach |R laufen, aber g(x) ist nicht stetig, d.h. an der Stelle 0 ist sie nicht definiert, wodurch kein Element dort abgebildet wird. Darauf folgert man die Voraussetzung. |
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| 29.10.2014, 21:28 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jep. Sobald eine Funktion mindestens eine Nullstelle besitzt, geht die Sache mit dem Inversen schief. G ist also keine Gruppe. Edit: Das liegt aber nicht an einer etwaigen Stetigkeit. Damit hat das nichts zu tun, der Begriff ist hier deplatziert. In G dürfen auch nichtstetige Abbildungen liegen. Hauptsache, die Funktion ist auf ganz R definiert. Das ist aber eben nicht der Fall, wenn man durch 0 teilt. Natürlich kann man sagen, dass g(x)=1/(f(x)) halt an der Stelle 0 irgendeinen Wert a annehmen soll. Die Funktion also einfach an der Stelle 0 anders definieren. Dann ist sie wieder auf ganz R definiert. Man wird damit aber nicht erreichen, dass f(0)*g(0)=1 ist. Denn 0*g(0) kann nicht 1 werden. Ein Inverses gibt es also nicht. |
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| 30.10.2014, 09:15 | Ny123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, du hast natürlich recht. Ich danke dir vielmals für deine Hilfe, ich glaube jetzt bin ich gewappnet auch noch die anderen Gruppen zu untersuchen. Ihr seid echt die Besten!! |
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