Lineares Gleichungssystem 1. Ordnung mit 4 Variablen

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Zoys Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem 1. Ordnung mit 4 Variablen
Meine Frage:
Hallo liebes matheboard,

ich habe ein Problem mit einer Hausaufgabe für die Uni.
Wir sollen ein Anfangswertproblem lösen das so aus sieht:

mit dem AWP:



Meine Ideen:
Wir haben das bis jetzt bei 3x3 Matrizen immer so gehandhabt, dass man die Determinante von (Matrix-X*Einheitsmatrix) berechnet, also die Eigenwerte und damit dann die zugehörigen Eigenvektoren. Wenn man das allerdings für die obrige Matrix so macht kommt man auf komplexe und sehr komplizierte Eigenwerte.

Meine Frage ist ob ich die Matrix auch einfach mit Hilfe des Gaußverfahrens auf Zeilen-Stufen-Form bringen kann bevor ich weiter rechne, dann komme ich auf die Matrix:



Da kann man dann ja direkt die Eigenwerte = 1, = 6, = -6
ablesen, was die ganze Rechnung deutlich vereinfacht.

Vielleicht kann mir das jemand beantworten.
Grüße Marius
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RE: Lineares Gleichungssystem 1. Ordnung mit 4 Variablen
Das vereinfacht die Rechung, nützt aber nichts Big Laugh , weil
Zitat:
= 1, = 6, = -6

sind nicht die Eigenwerte der Matrix.
Edit: Es sind die Eigenwerte der Matrix, die du durch Anwendung von Zeilenumformungen bekommst. Aber die EW sind unter solchen Umformungen nicht invariant.
 
 
Zoys Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also muss ich schon mit der gegebenen Matrix rechnen.
Schade, dass wäre ja auch zu einfach gewesen.

Wenn ich das ganze dann mit einer Matrixexponentialfunktion löse,
ist ja die Lösung des AWP's der Form Y(t) = *
Da mein aber ein Nullvektor ist kommt doch egal was in der Matrix A steht immer auch ein Nullvektor als Ergebnis raus oder?

Gruß Marius
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Das ist richtig.
Zoys Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank, dann kann ich das schon mal angenehmer Lösen smile

Beim zweiten Aufgabenteil fällt mir allerdings nicht so eine einfache Lösung auf, da ist die Matrix wie folgt abgeändert:

mit dem AWP:

Wenn ich dafür die Eigenwerte berechne, also erst einmal ) berechne, die dann ist komme ich wieder auf sehr komplizierte Eigenwerte.

Gibt es dazu auch einen Tipp den du mir geben könntest?

Meine Idee wäre die Matrix und den Vektor um zu schreiben das ich auf eine 3x3 Matrix komme mit einem Nullvektor und die letzte Zeile getrennt ausrechne, ich habe nur leider keine Ahnung wie ich das anstellen soll.

Gruß Marius
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Du suchst doch vier Funktionen. Die Struktur der Matrix entkoppelt die letzte von den ersten dreien. Für die letzte hast du das leicht lösbare AWP . Für die anderen drei letztlich die gleiche Aufgabe wie vorigen Aufgabenteil
Zoys Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, dann komme ich also mit dem Nullvektor der 3x3 Matrix und dem übrig gebliebenen AWP auf eine Gesamlösung von für das AWP.
Okay, dann hab ich das auch mal verstanden smile

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!
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Äh, nein. Die letzte Komponente in Y(t) ist falsch.
Zoys Auf diesen Beitrag antworten »

Ach quatsch da muss die e-Funktion hin, damit das stimmt, also

weil und muss ja abgeleitet immer noch das selbe sein.
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Besser Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre eine interessante, fast bösartige Aufgabenstellung für Prüfungen: Da kann man dann beobachten, wie sich (sicher viele) Studenten unnötigerweise totrechnen.
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Ich fand das als Hausaufgabe schon interessant. Als Prüfungsaufgabe definitv Teufel
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