Inverse der Matrix berechnen: Ich weiß wies geht, aber ich weiß nicht wieso es so geht...

29.10.2014, 19:04	Mark5454	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse der Matrix berechnen: Ich weiß wies geht, aber ich weiß nicht wieso es so geht... Um die Inverse einer Matix zu berechnen muss ich zuerst einmal untersuchen ob die Matrix den maximalen Rand hat. Ist das der Fall, so existiert: $\begin{eqnarray} A^{-1} A = I \end{eqnarray}$ Wenn das gilt, dann muss man die Erweiterte Matrix: $\begin{eqnarray} (A\| \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) \end{eqnarray}$ solange umformen, bis steht: $\begin{eqnarray} (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z\|A^{-1}) \end{eqnarray}$ Aber wieso funktioniert denn das überhaupt? Ich habe versucht mir das zu überlegen, aber ich finde da keinen Zusammenhang. Denn ich muss doch eigentlich die Koeffizienten s11 bis s33 dieser Matrix herleiten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} & s_{13}\\ s_{21} & s_{22} & s_{23}\\ s_{31} & s_{32} & s_{33} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
29.10.2014, 23:01	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du diesen Algorithmus durchführst löst du in Wirklichkeit nur (parallel/gleichzeitig) die Gleichungssysteme $\begin{eqnarray} A v_i = e_i \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ . Dann ist (offensichtlich) $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ die Matrix, deren i-te Spalten aus den $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ bestehen. Und das man ein Gleichungssystem wie oben mit dem Gauß'schen Algorithmus lösen kann, sollte Standard sein. (Einfach mal hinschreiben, was $\begin{eqnarray} A v_i = e_i \end{eqnarray}$ Zeilenweise als Gleichungssystem bedeutet und sich dann überlegen, dass sich unter Zeilenoperationen die Lösungsmenge nicht ändert. lg

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