Ungleichung mit Betrag und Brüchen

29.10.2014, 19:26

Alex94

Ungleichung mit Betrag und Brüchen

Meine Frage:
Ich habe folgende Gleichung zu lösen und komme irgendwie auf nichts sinnvolles

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|x-2|} \geq \frac{4x+5}{x-3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Ansätze sind, dass ich die Betragsstriche mal wegbringe, indem ich sage, dass -x+2 für x<2 und x-2 für x>2 ist.

Dann muss ich die Fallunterscheidung machen. Aber wie genau mach ich das, wenn ich auf der anderen Seite der Gleichung auch ein Bruch ist?

Bitte um Hilfe!
DANKE!

29.10.2014, 19:39

HAL 9000

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Zunächst mal ist $\begin{align*} x\neq 2,x\neq 3 \end{align*}$ , damit die Brüche alle definiert sind.

Dann kannst du mit $\begin{align*} |x-2| \end{align*}$ multiplizieren, da dass (des Betrages wegen) ein positiver Wert ist, bleibt das Relationszeichen erhalten:

$\begin{align*} 1 \geq \frac{(4x+5)\cdot |x-2|}{x-3}\qquad (*) \end{align*}$ .

Nächster sinnvoller Schritt wäre die Multiplikation mit $\begin{align*} (x-3) \end{align*}$ . Da hängt es aber von dessen Vorzeichen ab, ob sich das Relationszeichen $\begin{align*} \geq \end{align*}$ in $\begin{align*} \leq \end{align*}$ ändert oder nicht.

Diese Fallunterscheidung $\begin{align*} x<3 \end{align*}$ vs. $\begin{align*} x>3 \end{align*}$ kombiniert mit deiner anderen Fallunterscheidung $\begin{align*} x<2 \end{align*}$ vs. $\begin{align*} x>2 \end{align*}$ zur Auflösung des Betrages ergibt kombiniert die drei Fälle

1) $\begin{align*} x<2 \end{align*}$

2) $\begin{align*} 2<x<3 \end{align*}$

3) $\begin{align*} x>3 \end{align*}$

die du jeweils von (*) ausgehend nach und nach bearbeiten kannst.

29.10.2014, 20:16

Alex94

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Lösung
Das heißt also meine Lösung für den 1.Fall ist

Lösungsmenge1={ $\begin{eqnarray*} \frac{1-\sqrt{53}}{4} < x < 2 \end{eqnarray*}$ }
weil das zweite x der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1+\sqrt{53}}{4} \end{eqnarray*}$ ist größer als 2

Lösungsmenge2={2 < x < 3}
also der Fall selbst, weil die Lösungen für die jeweiligen x ausserhalb des Bereichs (2,3) liegen

und

Lösungsmenge3={}
weil wiederum die jeweiligen x ausserhalb des Bereichs (3, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) liegen

Also ist meine Gesamtlösungsmenge L={ $\begin{eqnarray*} \frac{1-\sqrt{53}}{4} < x < 2\wedge 2 < x < 3 \end{eqnarray*}$ }

?

30.10.2014, 07:30

HAL 9000

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Ja, sieht gut aus. Freude

30.10.2014, 07:35

Alex94

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Okay, danke!

1 Frage noch:

warum gehört der Bereich (3, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) nicht dazu?
ich nehme ja beim 2. Fall auch einfach den Bereich zwischen 2 und 3 obwohl kein x darauf zutrifft.?

30.10.2014, 08:07

HAL 9000

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Ich dachte, das wäre klar?

Schreib dann doch nochmal die sich letztendlich ergebenden quadratischen Ungleichungen und deren Lösungsmengen auf. In Kombination mit den jeweiligen Fallbedingungen ergibt sich dieses dein Ergebnis.

Zitat:

Original von Alex94
ich nehme ja beim 2. Fall auch einfach den Bereich zwischen 2 und 3 obwohl kein x darauf zutrifft.?

Nein: Im 2.Fall erfüllen alle $\begin{align*} x \end{align*}$ des Intervalls die quadratische Ungleichung.

30.10.2014, 18:59

Alex94

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Also:

1. Fall -> x<2

$\begin{eqnarray*} 1\geq \frac{(4x+5)*|x-2|}{x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-3 \geq -4x²+8x-5x+10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²-\frac{1}{2}*x-\frac{13}{4} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{1\pm \sqrt{53}}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_{1} = \left\{ \frac{1-\sqrt{53}}{4}<x<2\right\} \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} \frac{1+\sqrt{53}}{4}>2 \end{eqnarray*}$

2. Fall -> 2<x<3

$\begin{eqnarray*} 1\geq \frac{(4x+5)*|x-2|}{x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-3 \leq 4x²-8x+5x-10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq x²-x-\frac{7}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ausserhalb von 2<x<3
$\begin{eqnarray*} L_{2} = \left\{2<x<3\right\} \end{eqnarray*}$

3. Fall -> x>3

$\begin{eqnarray*} 1\geq \frac{(4x+5)*|x-2|}{x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-3\geq 4x²-10-8x+5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\geq x²-x-\frac{7}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Nun liegt zwar $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ausserhalb von x>3, aber beim 2. Fall ist das ja eigentlich genauso. Warum ist also die dritte Lösungsmenge nicht:
$\begin{eqnarray*} L_{3} = \left\{x>3\right\} \end{eqnarray*}$

30.10.2014, 19:37

HAL 9000

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Sind dann doch einige Fehler drin. unglücklich

Ich nenne erst mal nur die im 1.Fall:

Zitat:

Original von Alex94
1. Fall -> x<2

[...]

$\begin{eqnarray*} x-3 \geq -4x²+8x-5x+10 \end{eqnarray*}$

Falsch: Die Multiplikation mit $\begin{align*} (x-3)<0 \end{align*}$ dreht das Relationszeichen um! Es geht also weiter mit

$\begin{align*} x-3 \leq -4x^2+8x-5x+10 \end{align*}$

$\begin{align*} x^2-\frac{1}{2}\cdot x-\frac{13}{4} \leq 0 \end{align*}$

mit Lösungsintervall (noch ohne Fallbedingung) $\begin{align*} L_1' = \left[ \frac{1-\sqrt{53}}{4}, \frac{1+\sqrt{53}}{4} \right] \end{align*}$ , der Schnitt mit dem Fallbedingungsintervall ergibt dann

$\begin{align*} L_1 = L_1' \cap (-\infty,2) = \left[ \frac{1-\sqrt{53}}{4}, 2 \right) \end{align*}$ .

Dein Problem: Du löst nicht wirklich die quadratischen Ungleichungen, sondern nur die verwandten quadratischen Gleichungen, und "rätst" dann, wie man daraus auf das/die Lösungsintervall(e) der zugehörigen Ungleichung kommt - und oft rätst du falsch. unglücklich

P.S.: Die andere Ungleichung

$\begin{align*} x^2-\frac{1}{2}\cdot x-\frac{13}{4} \geq 0 \end{align*}$

hat abweichend davon die Lösungsmenge

$\begin{align*} L_1'' = \left(-\infty, \frac{1-\sqrt{53}}{4} \right] \cup \left[ \frac{1+\sqrt{53}}{4}, \infty \right) \end{align*}$

30.10.2014, 19:49

Alex94

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aber bei meinem ersten Fall hab ich doch garnicht festgelegt, ob das (x-3) größer oder kleiner als null ist, wie kann ich also wissen ob sich das Relationszeichen umdreht?

Und warum ist die Lösungsmenge unterschiedlich,wenn die quadratische Gleichung größer oder kleiner gleich Null ist? Ich errechne mir ja die x, für die die Gleichung Null ergibt?

30.10.2014, 21:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Alex94
aber bei meinem ersten Fall hab ich doch garnicht festgelegt, ob das (x-3) größer oder kleiner als null ist, wie kann ich also wissen ob sich das Relationszeichen umdreht?

Der 1.Fall ist x<2, da ist doch automatisch $\begin{align*} x-3<0 \end{align*}$ , da muss und kann gar nichts "festgelegt" werden!!!

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