Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)

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Marv3 Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Meine Frage:
Hallo,
ich muss folgende nichtlineare Differentialgleichung lösen:


Meine Ideen:
Ich weiß ,dass die Gleichung Riccati-Form besitz und ich somit,wenn ich eine Lösung errate , die DGL zu einer Bernoulli-DGL umformen könnte. Jedoch kann mir nicht vorstellen,dass man nur durch hinschauen eine Lösung für die DGL sehen kann. Also habe ich versucht die Gleichung mit dem Ansatz:
zu vereinfachen.
Somit komme ich auf eine Differentialgleichung 2. Ordnung und zwar:



Mein Problem ist nun, ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich jetzt an diese Gleichung rangehen soll. Trennung der Variablen ist hier ja nicht möglich.
Wenn ich die Gleichung lösen könnte, kann ich doch Rücksubstitieren und erhalte somit eine Lösung der Urpsrünglichen DGL oder?
Ich freue mich auf Unterstützung oder sogar auf von euch erratene Lösungen.
Gruß,
Marvin
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RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Warum nicht direkt mit Trennung der Veränderlichen? verwirrt
Marv3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Ja habs grade auch anhand einer anderen Aufgabe gesehen...
Also doch ganz simple :



Integrieren:



Ist das richtig so?
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RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Integrationskonstante nicht vergessen
Marv3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Oh ja.
Ja hab die bei mir in der Rechung drin aber als ich das hierhin abgetippt hab, hab ich die vergessen,danke Big Laugh
Also
Marv3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Aber z.B. bei der Aufgabe ist das nicht möglich einfach zu trennen oder?:

Da kann ich dann ja nicht einfach durch x^2 teilen.
Wie geht man bei so einem Fall vor?
 
 
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Wink

Stimmt, hier funktioniert TdV nicht.

Hier führt die Substitution



zum Ziel.
Marv3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Zu der Substitution habe ich eine Anleitung gefunden,die ich leider nicht ganz nachvollziehe:



Die Gleichung soll ich mit der vorher genannten Substitution finden.
Ich verstehe nicht genau, wie ich die Substitution von x' ausführe.
Erhalte ich also ? :


Kann man das einfach so machen?
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RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
x=zt ableiten, Produktregel nicht vergessen.
In deiner Gleichung fehlt links noch z(t)
Marv3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Das habe ich nun versucht erhalte dann aber wieder eine Riccati?-DGL ?



Jetzt weiß ich wieder nicht weiter, habe es versucht mit ausklammern damit ich TdV anwenden kann aber das scheint auch nicht zu funktionieren ...
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RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Hast du mal die homogene DGL betrachtet?
Edit: Unfug Forum Kloppe
Wobei man eine partikuläre Lösung der riccatischen leicht angeben kann.
Marv3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Inwiefern kann man die leicht angeben?
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RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
In der Riccatischen
sind alle Koeffizienten mit Ausnahme desjenigen vor konstant. Dann gibt's eine konstante Lösung.
Marv3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Also eine Lösung ware somit z =1 .
Jetzt substituiere ich mit

Und habe somit:

Mache TdV und erhalte:


Muss ich nun doppelt zurücksubstituieren?
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RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Das y soll wohl ein u sein.
Ja, zurück substituieren, bis du bei der gesuchten Funktion x angekommen bist.
Probe durch Einsetzen in die DGL nicht vergessen Augenzwinkern
Marv3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichtlineare Differentialgleichung lösen(Riccati)
Alles klar ,danke.
Noch eine kurze Frage hätte ich zu der ersten Aufgabe. Man soll ja immer Angeben aus welchem Wertebereich die Integrationskonstante stammt. Wie geb ich das bei der Funktion


an?

Ich weiß dass der Tangens für nicht definiert ist. Aber hier kann ich doch nur sagen ,dass t^2+C in diesen Wert nicht annehmen darf.
Also für welche C gilt diese Gleichung nun?
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