Gruppenhomomorphismen der ganzen Zahlen

30.10.2014, 16:54	Lukaza	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismen der ganzen Zahlen Meine Frage: Hallo, Ich habe eine Übungsaufgabe gestellt bekommen, in der ich zeigen soll, dass eine Abbildung phi: (Z,+)-->(Z,+) genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn gilt: für alle a aus Z, für alle z aus Z : phi(az) = a phi(z) . Wobei Z die ganzen Zahlen sind und phi eben das phi-Zeichen. Meine Ideen: Für mich ist dies die Definition für einen Homomorphismus und ich habe keinerlei Ansatz wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Kann mir da jemand vielleicht einen kleinen Denkanstoß verpassen? Danke im Voraus Lukas
30.10.2014, 16:59	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und du sollst zeigen: Wenn für alle $\begin{eqnarray} a,z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} \varphi(az)=a\varphi(z) \end{eqnarray}$ ? Hast du die $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ vergessen oder habt ihr $\begin{eqnarray} az:= \underbrace{z+\dots +z}_{\text{a-mal}} \end{eqnarray}$ definiert?
30.10.2014, 17:54	Lukaza1	Auf diesen Beitrag antworten »
Also az ist nicht definiert. und genau was sie schreiben soll ich zeigen. Die Aufgabe ist folgendermaßen gestellt: Betrachten Sie die additive Gruppe der ganzen Zahlen (Z,+). Zeigen sie: Eine Abbildung phi: (Z,+)-->(Z,+) ist genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn gilt: für alle a aus Z, für alle z aus Z : phi(az) = a phi(z). Mehr Informationen habe ich nicht.
31.10.2014, 08:01	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe mal davon aus, das $\begin{eqnarray} az= \underbrace{z+\dots +z}_{\text{a-mal}} \end{eqnarray}$ , wir sind ja in der additiven Gruppe. Demnach gilt 1) $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} az=0 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} az=\underbrace{z+\dots +z}_{\text{a-mal}} \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} a<0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} az=-(\underbrace{z+\dots +z}_{\text{(-a)-mal}}) \end{eqnarray}$ Du musst nun zwei Richtungen zeigen: a) $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall a,z\in\mathbb{Z}: \varphi(az)=a\varphi(z) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall a,z\in\mathbb{Z}: \varphi(az)=a\varphi(z) \end{eqnarray}$ Beginne etwa mit a). Wenn $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{Z},+) \end{eqnarray}$ ist, was gilt dann für $\begin{eqnarray} \varphi(n+m) \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \varphi(-n) \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} n,m\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ )?
02.11.2014, 20:19	Lukaza	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank konnte es jetzt lösen. Bis zum nächsten Mal.

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