Wahrscheinlichkeitsaufgabe

30.10.2014, 22:02

ralf84561

Wahrscheinlichkeitsaufgabe

Meine Frage:
Hallo,

ich arbeite schon eine ganze Weile an dieser Aufgabe, komme auch auf das richtige Ergebnis, allerdings weiß ich nicht ob der Lösungsweg stimmt.
Zur Aufgabe:

Die Masse von einem Briefumschlag sei normalverteilt mit µ=1,95 und sigma=0,05.

Frage: Wie groß dürfte der Erwartungswert höchstens sein,
damit im Mittel nur 5 % der Briefumschläge mehr als 2.0 g wiegen ?

Meine Ideen:
Es muss wahrscheinlich mit Hilfe der inversen Normalverteilung gelöst werden, aber ist das wirklich notwendig und sind meine Formulierungen richtig? Bitte um Hilfe.

$\begin{eqnarray*} 0,05=P(x<=2) 0,95=P(x>2) z=\phi(\frac{2-\mu}{0,05}) 0,95=\phi(z) 0,95=1-\phi(-z) 0,05=\phi(-z) -1,6449=-z -1,6449=-(\frac{2-\mu}{0,05}) \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ aufgelöst ergibt das: 1,918
Das soll auch das richtige Ergebnis sein, ich würde gern wissen ob der Weg richtig ist bzw. umständlich ist.

Danke.

31.10.2014, 08:46

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Dein Rechenweg ist auf jeden Fall richtig. Umständlich würde ich ihn nicht nennen, eher vorsichtig. Aber es passt alles.

Viele Grüße
Steffen

31.10.2014, 13:31

ralf84561

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Danke !

Ich muss leider sagen, dass dieser Rechenweg gestern durch rumprobieren und mit Hilfe meines Hefters mit einer (etwas) ähnlichen Aufgabe entstanden ist. Nach dem ganzen hin und her ist mir jetzt erstmal aufgefallen, dass ich doch mit der ersten Zeile sage, dass 5% der Briefumschläge weniger als 2 g wiegen sollen, ist das richtig? Und warum die inverse Normalverteilung notwendig ist, bin ich mir auch nicht sicher.

Für eine Aufklärung wäre ich dankbar.

31.10.2014, 13:50

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von ralf84561
Nach dem ganzen hin und her ist mir jetzt erstmal aufgefallen, dass ich doch mit der ersten Zeile sage, dass 5% der Briefumschläge weniger als 2 g wiegen sollen, ist das richtig?

Stimmt, da steht P(x<=2). Das sollte andersrum lauten. Hab ich nicht gesehen.

Zitat:

Original von ralf84561
Und warum die inverse Normalverteilung notwendig ist, bin ich mir auch nicht sicher.

Es geht ja um die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert zwischen zwei bestimmten Grenzen liegt. Und der entspricht der Fläche unter der Gaußkurve. Von minus bis plus Unendlich ist die Eins. Also liegt jede Zahl mit 100% zwischen diesen Werten (ist ja klar).

In der entsprechenden Tabelle kannst Du nun, wenn Du Mittelwert und Standardabweichung kennst, jedes beliebige Wertepaar nachschauen. Die Zahl gibt die Fläche von minus Unendlich bis zu einer Vielfachen einer Standardabweichung an.

Beispielsweise ist die Fläche von minus Unendlich bis zu einer Standardabweichung 0,84134. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 84 Prozent ist ein Wert also kleiner als Mittelwert plus eine Standardabweichung. Das gilt für jede Normalverteilung.

Nun ist ja bei dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, also die Fläche mit 0,95 vorgegeben. Jetzt kommt die "inverse Normalverteilung" dran: wir suchen die Zahl 0,95 in der Tabelle und schauen, welcher z-Wert dazugehört. Wir finden etwa z=1,64.

Den Rest kannst Du ja selber, wie Du schon bewiesen hast.

Viele Grüße
Steffen

31.10.2014, 15:15

ralf84561

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Also ich versuche es nochmal, hoffe diesmal ist es korrekt:

$\begin{eqnarray*} 0,05=P(x>2) \end{eqnarray*}$

Ich bilde das Gegenereignis:
$\begin{eqnarray*} 0,95=P(x\leq2) \end{eqnarray*}$

Das bedeutet:
$\begin{eqnarray*} 0,95=1-\phi(z) 0,95=\phi(-z) \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt den Wert für $\begin{eqnarray*} \phi(-z) \end{eqnarray*}$ raussuche, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} 1,64485=z 1,64485=(\frac{2-\mu}{0,05}) \end{eqnarray*}$

Und damit ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \mu=1,918 \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

31.10.2014, 15:38

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von ralf84561
$\begin{eqnarray*} 0,95=1-\phi(z) 0,95=\phi(-z) \end{eqnarray*}$

Nein, umgekehrt. Die $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ -Funktion gibt ja erfreulicherweise bereits die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Wert kleiner als z ist.

Also einfach $\begin{eqnarray*} 0,95=\Phi(z) \end{eqnarray*}$ . Und das ergibt ja dann auch Dein

Zitat:

Original von ralf84561
$\begin{eqnarray*} 1,64485=z \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

31.10.2014, 16:17

ralf84561

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Ok, also ich bilde das Gegenereignis, weil ich ja die Standard-NV nutzen will, um an $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ran zu kommen. Das heißt ich bekomme den Wert x vom linken Rand der Standardnormalverteilung mit P= 0,95.

Aber ich dachte $\begin{eqnarray*} \phi(-z) \end{eqnarray*}$ , also ein negativer z-Wert wäre die inverse NV?
Was verstehe ich falsch?

31.10.2014, 16:33

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von ralf84561
Aber ich dachte $\begin{eqnarray*} \phi(-z) \end{eqnarray*}$ , also ein negativer z-Wert wäre die inverse NV?

Der Begriff "inverse Normalverteilung" ist etwas mehrdeutig. Ich weiß nicht, ob und wie ihr ihn verwendet. Ich hielt es für einen verunglückten Ausdruck für die Umkehrfunktion der Normalverteilung, eben das, was wir gemacht haben: zu einer Wahrscheinlichkeit einen z-Wert zu finden.

EDIT: Laut Wiki ist die inverse Normalverteilung sogar weder das eine noch das andere...

Den negativen z-Wert brauchst Du hier jedenfalls nicht.

Viele Grüße
Steffen

31.10.2014, 19:44

ralf84561

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Ok, ich denke ich habe es verstanden. Vielen vielen Dank, dass Sie sich die Mühe gemacht haben meine Fragen zu beantworten.

Können Sie mir noch sagen wie man hier die zweite Zeile interpretiert:

$\begin{eqnarray*} 0,95=P(x\leq 2) 0,95=P(\frac{x-\mu}{\sigma}<\frac{2-\mu}{0,05}) 0,95=\phi(z) 1,65=z \end{eqnarray*}$

Wäre das für diesen Fall.
Wir schreiben das immer in der Vorlesung so auf und ich nehme das dann immer so hin, verstehe es aber nicht so richtig.

01.11.2014, 11:48

Steffen Bühler

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Keine Ursache! Außerdem duzen wir uns hier.

Die zweite Zeile ist die Normierung auf die Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Denn nur dafür gilt die Tabelle!

01.11.2014, 13:30

ralf84561

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Ja, das macht Sinn. Damit wäre alles geklärt, danke !

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