Abbildungen: Beweis von Äquivalenz (Injektivität, Identität, Komposition)

31.10.2014, 01:37

Hannibee

Abbildungen: Beweis von Äquivalenz (Injektivität, Identität, Komposition)

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe. Ich fürchte dazu gab es schon mal eine Frage, denn ich bin hier schon mal drüber gestolpert, als ich die Aufgabe noch nicht kannte, aber ich finde sie nicht mehr.

Zu zeigen ist, dass folgende Aussagen äquivalent sind (für A nicht leere Menge und eine Abbildung f: A --> B):
(i) f ist injektiv
(ii) Es gibt eine Abbildung g: B --> A mit g°f =id(A)
(iii) Für alle Mengen C und Abbildungen h1: C --> A, h2: C --> A gilt: Aus f°h1=f°h2 folgt h1=h2

Ich habe mir bereits einige Gedanken gemacht und sie sauber aufgeschrieben, fotografiert und angehängt. Ich kenn mich leider mit dem Formeleditor nicht aus, bzw. habe die Hälfte der Zeichen nicht gefunden, die ich gebraucht hätte. Ich hoffe das ist auch so recht übersichtlich.

Zunächst wüsste ich gerne, ob meine Ansätze überhaupt stimmen, so richtig glaube ich da nämlich nicht dran. Das erscheint mir alles ein wenig holprig. Aber wenn sie stimmen, hätte ich (ii)-->(i) und (i)-->(iii) gezeigt. Wenn ich jetzt noch zeigen könnte, dass (iii)-->(i) wäre ich fertig, oder? Das schaff ich aber irgendwie nicht.

Alternativ müsste ich (i)-->(ii) und (iii)-->(i) zeigen.

Ich bin leider noch sehr verloren in Beweisführungen generell und für Abbildungen ganz speziell. Ich wäre wirklich dankbar, wenn ihr mir da ein wenig helfen könntet.

31.10.2014, 09:34

10001000Nick1

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Ich schreibe dir mal die drei Aussagen in Latex, dann kannst du gucken, wie der Code aussehen muss, und das dann auch in deinen Beiträgen benutzen:
Für $\begin{eqnarray*} f: A\to B, A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ sind äquivalent:
(i) f ist injektiv.
(ii) Es gibt eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray*} g: B \to A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g\circ f= id_A \end{eqnarray*}$
(iii) Für alle Mengen C und Abbildungen $\begin{eqnarray*} h_1: C\to A, h_2: C\to A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f\circ h_1=f\circ h_2 \Rightarrow h_1=h_2 \end{eqnarray*}$ .

(Für den Existenzquantor benutzt du \exists und für den Allquantor \forall) Alles klar? Augenzwinkern

(Und vor dem Absenden eines Beitrages mit Latex bitte immer die Vorschau benutzen)

Deine Ansätze sehen ganz gut aus.
Trotzdem noch ein paar Anmerkungen: Im Beweis $\begin{eqnarray*} (ii)\Rightarrow (i) \end{eqnarray*}$ schreibst du $\begin{eqnarray*} \forall a\in g\circ f... \end{eqnarray*}$ . Das macht so natürlich keinen Sinn; $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion, keine Menge. Besser wäre $\begin{eqnarray*} \forall a\in A... \end{eqnarray*}$
Dann in der dritten Zeile von unten (immer noch im ersten Teil) steht $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_2) \Leftrightarrow g(f(a_1))=g(f(a_2)) \end{eqnarray*}$ . Da solltest du keinen Äquivalenzpfeil benutzen, sondern nur eine einfache Implikation $\begin{eqnarray*} "\Rightarrow" \end{eqnarray*}$ . Du weißt ja gar nicht, ob g überhaupt injektiv ist.

Zum zweiten Teil: In der vorletzten Zeile kannst du noch ergänzen "Es gibt ein $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ , sodass ..." Es ist nämlich noch nicht klar, ob das, was da steht für alle c gelten soll oder nur für eines.

Aber sonst scheint alles richtig zu sein. Freude

Du könntest jetzt noch $\begin{eqnarray*} (i)\Rightarrow (ii) \end{eqnarray*}$ zeigen; du kannst sogar explizit ein solches g angeben (überlege dir dabei auch, wo man die Voraussetzung braucht, dass f injektiv ist bzw. was schief gehen würde, wenn f nicht injektiv wäre).

Und $\begin{eqnarray*} (iii)\Rightarrow (i) \end{eqnarray*}$ kannst du durch einen Widerspruchsbeweis zeigen.
smile

31.10.2014, 21:14

Hannibee

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Danke dir erst mal für deine Antwort. Mir sind dadurch aber noch ganz viele Fragen mehr gekommen. Der einfachheithalber, nummerier ich die mal in meinem Text.

Du hast natürlich Recht bezüglich meiner Fehler. Im zweiten Teil, würde das aber doch für alle $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ gelten, oder? (Frage 1)

Ich hab mir auch Gedanken zu den beiden zu verbleibenden Beweisen gemacht, komme aber nicht so richtig weit.

$\begin{eqnarray*} (i)\Rightarrow (ii) \end{eqnarray*}$
Was schief geht, wenn f nicht injektiv ist, ist, dass es nun möglich ist, dass zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ auf ein gleiches $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ abgebildet werden könnten. Welche dann natürlich im zweiten Schritt auf ein und das selbe $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ abgebildet werden und nicht auf das jeweils ursprüngliche, denn das wäre ja sonst keine Abbildung/Funktion mehr.
Dabei ist mir aber noch eine weitere Frage gekommen. Wenn ich z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3} \end{eqnarray*}$ nehme und $\begin{eqnarray*} g(x)=x^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ dann kommt ja $\begin{eqnarray*} g\circ f=x \end{eqnarray*}$ raus. Alles gut also. Nehme ich statt der 3 das ganze mit der 2, dann käme das durch einfaches ineinandereinsetzen ja auch raus, allerdings nicht, wenn ich eine Abbildung nacheinander ausführe. Liegt das daran, dass mein wahrer Wertebereich von f nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \mathbb{R^+} \end{eqnarray*}$ ist? Und der Definitionsbereich von g aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ? Sodass ich diese Komposition nicht einfach durch einsetzen machen kann (wie früher in der Schule)? (Frage 2)

Ansonsten komme ich hier leider nicht so richtig weiter. Kann ich hier auch über den Widerspruchsbeweis gehen? Ich käme dann leider nur bis $\begin{eqnarray*} \forall g: B\to A: g\circ f \neq id_A \Leftrightarrow \forall g:B\to A \exists a\in A: (g\circ f)(a)\neq a \end{eqnarray*}$
Durch ganz viele Umformungen würde ich dann kommen wollen zu $\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \land f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$
Aber ich sehe den Weg nicht. Was natürlich daran liegen könnte, dass der Widerspruchsbeweis nicht funktioniert. Kannst du mir da noch einen Tipp geben? (Frage 3)

$\begin{eqnarray*} (iii)\Rightarrow (i) \end{eqnarray*}$
Leider, leider sieht es hier nicht viel besser aus. Ich will ja $\begin{eqnarray*} \neg (i) \Rightarrow \neg (iii) \end{eqnarray*}$ zeigen. Ich komme nur auf $\begin{eqnarray*} \exists a_1,a_2\in A: a_1\neq a_2 \land f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$ und irgendwie will ich dann hin zu $\begin{eqnarray*} f\circ h_1=f\circ h_2 \land h_1=h_2 \end{eqnarray*}$
Also meine obligatorische Frage 4, bekomm ich noch nen Tipp?

Und letzte Frage (5): Wie kann ich hier vor $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ein Leerzeichen reinbekommen? $\begin{eqnarray*} \forall g:B\to A \exists a\in A: \end{eqnarray*}$

Danke schön!

01.11.2014, 10:56

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Hannibee
Im zweiten Teil, würde das aber doch für alle $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ gelten, oder? (Frage 1)

Nein. Wenn $\begin{eqnarray*} h_1\neq h_2 \end{eqnarray*}$ , dann weißt du nur, dass es irgendeine Stelle gibt, an der die beiden Funktionen nicht übereinstimmen (es kann jedoch auch Stellen geben, an der beide Funktionen gleich sind).

Zitat:

Original von Hannibee
$\begin{eqnarray*} (i)\Rightarrow (ii) \end{eqnarray*}$
Was schief geht, wenn f nicht injektiv ist, ist, dass es nun möglich ist, dass zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ auf ein gleiches $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ abgebildet werden könnten. Welche dann natürlich im zweiten Schritt auf ein und das selbe $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ abgebildet werden und nicht auf das jeweils ursprüngliche, denn das wäre ja sonst keine Abbildung/Funktion mehr.

Ja, stimmt (und das ist auch ungefähr das, was du schon in dem PDF-Dokument geschrieben hattest). Jetzt musst du aber noch zeigen, dass ein solches g tatsächlich existiert, wenn f injektiv ist.

Frage 2
Das verstehe ich nicht wirklich. Am besten schreibst du nochmal auf, welcher Definitions-/Wertebereich zuwelcher Funktion gehört. Einen "wahren" Definitions-/Wertebereich gibt es eigentlich nicht. Diesen legst du ja bei deiner Funktionsdefinition schon fest.
Um von zwei Funktionen f, g die Komposition $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ bilden zu können, müssen der Wertebereich von g und der Definitionsbereich von f übereinstimmen.

Frage 3
Ich denke, ein direkter Beweis ist hier meiner Meinung nach einfacher. Wie gesagt, du kannst unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} f:A\to B \end{eqnarray*}$ injektiv ist, ein solches $\begin{eqnarray*} g:B\to A \end{eqnarray*}$ explizit angeben, sodass $\begin{eqnarray*} g\circ f=id_A \end{eqnarray*}$ .
Dazu guckst du dir bei jedem Element aus $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ an: Liegt es im Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? Gibt es also ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ , das durch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ abgebildet wird, d.h. $\begin{eqnarray*} f(a)=b \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja, auf welches Element muss dann $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ abgebildet werden?

Zitat:

Original von Hannibee
$\begin{eqnarray*} (iii)\Rightarrow (i) \end{eqnarray*}$
Leider, leider sieht es hier nicht viel besser aus. Ich will ja $\begin{eqnarray*} \neg (i) \Rightarrow \neg (iii) \end{eqnarray*}$ zeigen. Ich komme nur auf $\begin{eqnarray*} \exists a_1,a_2\in A: a_1\neq a_2 \land f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$ und irgendwie will ich dann hin zu $\begin{eqnarray*} f\circ h_1=f\circ h_2 \land h_1\textcolor{red}{=}h_2 \end{eqnarray*}$
Also meine obligatorische Frage 4, bekomm ich noch nen Tipp?

Da muss stehen: $\begin{eqnarray*} ...\land h_1\neq h_2 \end{eqnarray*}$ .
Wir haben jetzt also unterschiedliche $\begin{eqnarray*} a_1, a_2\in A \end{eqnarray*}$ , die von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dasselbe Element abgebildet werden. Jetzt nimm mal zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} h_1:C\to A, h_2:C\to A \end{eqnarray*}$ , die überall übereinstimmen bis auf eine Stelle $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ : Es gelte $\begin{eqnarray*} h_1(c)=a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_2(c)=a_2 \end{eqnarray*}$ .
Erfüllen diese beiden Funktionen jetzt die gewünschte Bedingung?

Frage 5
Ein Leerzeichen bekommst mit Backslash+Leerzeichen:

code:
1:	[latex]\forall g:B\to A \ \exists a\in A: [/latex]

$\begin{eqnarray*} \forall g:B\to A \ \exists a\in A: \end{eqnarray*}$
Breitere Abstände erzeugst du mit \quad oder \qquad.
smile

01.11.2014, 11:22

Hannibee

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Danke erst mal. Du hilfst mir unglaublich weiter. Ich hatte noch nicht die Zeit über alles nachzudenken, aber meine bisherigen Gedanken.

Frage 1:
Ich versteh immer noch nicht ganz warum es nur existiert ist. Danach folgt doch eine wenn dann Aussage. Wenn $\begin{eqnarray*} h_1 \neq h_2 \end{eqnarray*}$ dann "irgendeine Aussage". Und das gilt doch für alle c für die gilt, dass $\begin{eqnarray*} h_1(c) \neq h_2(c) \end{eqnarray*}$ . Oder lese ich den Satz falsch. Ich würde lesen: Für alle $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} h_1(c) \neq h_2(c) \end{eqnarray*}$ folgt "Aussage". Also ja, es reicht, das die beiden h nur an einer einzigen Stelle nicht übereinstimmen, aber für alle diese Stellen muss "Aussage" folgen, oder nicht?

Frage 2:
Nun, was ich meine ist, dass ich den Definitions- und Wertebereich von beiden meinen Funktionen (f und g) ja einfach als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ festlegen könnte. Ich kann sagen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Im Falle $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ stimmt das ja aber nicht wirklich, was die Verknüpfung betrifft. Zwar kann ich sagen, der Wertebereich stimmt und die Abbildung ist einfach nur nicht surjektiv (also nicht alle y-Werte werden wirklich erreicht), aber das hat ja Einfluss auf mein g, in das ich jetzt nur Werte aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R^+} \end{eqnarray*}$ einspeisen kann, weshalb die Verknüpfung von $\begin{eqnarray*} g(x)=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ nach f nicht die Identität wäre (obwohl ein einfaches einsetzen ineinander das geben würde). Die Frage ist also, ob ich das deshalb nicht darf, weil ich dann nicht berücksichtige, dass der erreichte Wertebereich von f nicht dem definierten Definitionsbereich von g entspricht.
Ich hoffe ich konnte ein bisschen verständlicher machen, was ich meinte.

Frage 3 und Frage 4:
Danke schon mal für die Hinweise. Ich werde drüber nachdenken sobald ich Zeit habe und mich dann noch mal melden. Bezüglich Frage 4 hast du natürlich Recht. Mir war das Negationszeichen beim in die Klammer holen abhanden gekommen.

01.11.2014, 13:04

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Hannibee
Frage 1:
Ich versteh immer noch nicht ganz warum es nur existiert ist. Danach folgt doch eine wenn dann Aussage. Wenn $\begin{eqnarray*} h_1 \neq h_2 \end{eqnarray*}$ dann "irgendeine Aussage". Und das gilt doch für alle c für die gilt, dass $\begin{eqnarray*} h_1(c) \neq h_2(c) \end{eqnarray*}$ . Oder lese ich den Satz falsch. Ich würde lesen: Für alle $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} h_1(c) \neq h_2(c) \end{eqnarray*}$ folgt "Aussage". Also ja, es reicht, das die beiden h nur an einer einzigen Stelle nicht übereinstimmen, aber für alle diese Stellen muss "Aussage" folgen, oder nicht?

Ach so meinst du das. Ich meinte folgendes: $\begin{eqnarray*} h_1\neq h_2\Rightarrow \exists c\in C: h_1(c)\neq h_2(c) \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$
Aber deins geht auch.

Zitat:

Original von Hannibee
Die Frage ist also, ob ich das deshalb nicht darf, weil ich dann nicht berücksichtige, dass der erreichte Wertebereich von f nicht dem definierten Definitionsbereich von g entspricht.

Ja; wenn $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist, dann muss man den Definitionsbereich auf die nichtnegativen reellen Zahlen einschränken, $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Um $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ bilden zu können, darf dann f natürlich nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ abbilden: $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+, f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ .
Und jetzt ist $\begin{eqnarray*} g\circ f=id_{\mathbb{R}^+} \end{eqnarray*}$ .

02.11.2014, 06:43

Hannibee

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Danke, jetzt versteh ichs bis dahin.

Ich hab jetzt auch in aller Frische über den Rest nachdenken können und bin zu Folgendem gekommen:

$\begin{eqnarray*} (i)\Rightarrow (ii) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} f:A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ injektiv, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall a_1,a_2\in A: f(a_1)=f(a_2) \Rightarrow a_1=a_2 \end{eqnarray*}$
Konstruktion von $\begin{eqnarray*} g: B \to A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g\circ f= id_A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall b\in B: \exists a\in A : f(a)=b \end{eqnarray*}$ setze $\begin{eqnarray*} g(b)=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall b\in B: \neg(\exists a\in A : f(a)=b) \end{eqnarray*}$ setze $\begin{eqnarray*} g(b)=a_b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_b \in A \end{eqnarray*}$ (also ein beliebiges a, denn das wird ja eh nicht erreicht (zumindest nicht über dieses b, sondern über ein anderes, welches von f eben von diesem a aus erreicht wurde)
Die Funktion bildet also alle $\begin{eqnarray*} a\in A \rightarrow a\in A \end{eqnarray*}$ ab, denn $\begin{eqnarray*} (g\circ f)(a)=g(f(a)=g(b)=a \end{eqnarray*}$

Reicht das? Ich habe irgendwie das Gefühl, das ist nicht so richtig ein Beweis...

$\begin{eqnarray*} (iii)\Rightarrow (i) \end{eqnarray*}$
Widerspruchsbeweis $\begin{eqnarray*} \neg(i)\Rightarrow\neg(iii) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists a_1,a_2\in A: a_1\neq a_2 \land f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$
Setzung $\begin{eqnarray*} \exists c\in C: h_1(c) = a_1 \land h_2(c)=a_2 \Rightarrow f(h_1(c))=f(a_1)=f(a_2)=f(h_2(c)) \Rightarrow(f\circ h_1)(c)=(f\circ h_2)(c) \end{eqnarray*}$
Für alle anderen $\begin{eqnarray*} c_b\in C \end{eqnarray*}$ definiere $\begin{eqnarray*} h_1(c_b)=h_2(c_b) \Rightarrow f(h_1(c_b))=f(h_2(c_b)) \Rightarrow (f\circ h_1)(c_b)=(f\circ h_2)(c_b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists h_1: C\to A, h_2: C\to A: f\circ h_1=f\circ h_2 \land h_1\neq h_2 \end{eqnarray*}$

So sieht mir das einigermaßen logisch aus. Ich hab nur ein wenig Probleme mit den Schreibweisen. Diese Kombination aus formellen Zeichen und Worten fällt mir ein wenig schwer.

Könntest du noch mal schauen, ob das so in Ordnung ist? Danke schon mal. Alleine hatte ich nämlich ganz schön Probleme mit der Aufgabe.

02.11.2014, 20:36

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Hannibee
$\begin{eqnarray*} \forall b\in B: \exists a\in A : f(a)=b \end{eqnarray*}$ setze $\begin{eqnarray*} g(b)=a \end{eqnarray*}$

Wenn du das so schreibst, bedeutet das: "Für alle $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(a)=b \end{eqnarray*}$ , setze $\begin{eqnarray*} g(b)=a \end{eqnarray*}$ .
Gemeint ist aber: "Für alle $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ , für die ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(a)=b \end{eqnarray*}$ , setze $\begin{eqnarray*} g(b)=a \end{eqnarray*}$ .
Es ist in Ordnung, das in Worten zu aufzuschreiben; du musst keine Quantoren benutzen.
Genauso in der nächsten Zeile.
Wenn du das noch änderst, ist der Beweis in Ordnung.

Zitat:

Original von Hannibee
Setzung $\begin{eqnarray*} \exists c\in C: h_1(c) = a_1 \land h_2(c)=a_2 \end{eqnarray*}$

Das bwürde ich auch nicht so schreiben. Das bedeutet nämlich "Es existiert ein $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} h_1(c)=a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_2(c)=a_2 \end{eqnarray*}$ .
Da du aber $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_2 \end{eqnarray*}$ gerade erst definieren willst, wäre es besser, zu schreiben: Setze für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} c\in C\ h_1(c):=a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_2(c)=a_2 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist auch das in Ordnung.
smile

03.11.2014, 21:20

Hannibee

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Ok, deine Kritikpunkte erscheinen mir logisch. Vielen Dank dir. Ich bekomme so langsam ein bisschen Struktur hinter die ganzen Abbildungsbeweise.

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Abbildungen: Beweis von Äquivalenz (Injektivität, Identität, Komposition)

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