Monomorphismus |
| 17.08.2004, 18:01 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Monomorphismus |
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| 17.08.2004, 18:16 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Monomorphismus Bei deinen englischen Bezeichnungen kann ich dir auch nicht weiterhelfen, wie lautet denn der komplette Satz? Gruß, therisen |
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| 17.08.2004, 18:31 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine homomorphe Abbildung (=Homomorphismus) heißt Monomorphismus, wenn sie injektiv ist - monos (griech.) ~ einzig Epimorphismus, wenn sie surjektiv ist - epi (griech.) ~ auf Isomorphismus, wenn sie injektiv und surjektiv, d.h. bijektiv ist - isos (griech.) ~ gleich Endomorphismus, wenn Urbild- und Bildmenge übereinstimmen - endon (griech.) ~ innerhalb Automorphismus, wenn sie zugleich Endo- und Isomorphismus ist - autos (griech.) ~ selbst Die Adjektive sind monomorph, epimorph, isomorph, endomorph und automorph. Ein Epimorphismus heißt auch (homomorphe) Abbildung auf (engl. onto) Ein Monomorphismus heißt auch eineindeutige (homomorphe) Abbildung (engl. one-one) |
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| 17.08.2004, 19:05 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Leopold, die Adjektive "homomorph" und die anderen kenn ich nicht. Ich kenn Strukturen, die zueinander isomorph sind, aber den Isomorphismus würde ich nicht als "isomorphe Abbildung" bezeichnen. Da verwende ich eher "linear", "surjektiv" etc. und Kombinationen davon. Die englischen Begriffe "one to one" (oft als "1-1" geschrieben) und "onto" gibt's auch für allgemeinere Abbildungen. Sie entsprechen den deutschen Begriffen "injektiv" und "surjektiv". Beides zusammen heißt im deutschen "bijektiv" und wird im englischen oft als "one to one and onto" beschrieben. Liebe Grüsse, Irrlicht |
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| 17.08.2004, 19:16 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke schön. |
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| 17.08.2004, 20:06 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir haben Homomorphismen/Isomorphismen als Familien von Abbildungen eingeführt. Ein Homomorphismus war für uns eine Familie von Abbildungen zwischen Algebren die Operationsverträglichkeit sichert. Für Familien von Abbildungen haben wir auch die Begriffe wie epimorphismus, epimorph etc. geprägt niemals jedoch für einzelne Abbildungen. |
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| 17.08.2004, 21:36 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber wann sind denn Strukturen isomorph? Doch dann, wenn es einen Isomorphismus gibt (den ich auch als isomorphe Abbildung bezeichnen würde). Ich gehe auch ansonsten mit Leopolds Bezeichnungen konform.Bloss zum Englischen kann ich in diesem Kontext nix sagen. Gruß vom Ben |
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| 18.08.2004, 19:44 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Strukturen sind nicht isomorph. Zwei Strukturen können zueinander isomorph sein, nämlich dann, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt, wie du richtig sagst. Die Eigenschaft, zueinander isomorph = "gleichgestaltig" zu sein, ist keine Eigenschaft der von Abbildungen, sondern von Strukturen. Es gibt aber auch keine Strukturen, die (zueinander) homomorph sind, ich kenne keinen sinnvolle Definition eines solchen Begriffs. "Meromorph" und "holomorph" sind dagegen Eigenschaften von Abbildungen, ebenso wie "stetig". Mazze, hab ich dich richtig verstanden, dass du eine "Familie epimorpher Abbildungen" definiert hast, ohne die Abbildungen selbst "epimorphe Abbildung" zu nennen? Gruss, SirJective |
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| 18.08.2004, 23:49 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ds meinte ich natürlich.
Ja, aber diese ist definiert über eine isomorphe Abbildung (bzw. durch die Existenz einer solchen), aber da stimmen wir ja überein. Damit hängen die beiden Isomorphiebegriffe doch sehr eng zusammen, der eine ist halt durch den anderen definiert. Worüber diskutieren wir eigentlich?
Gruß vom Ben |
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| 19.08.2004, 11:58 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Über Worte, nicht mehr. Über die Begriffe sind wir uns einig, nur über die Bezeichnungen nicht. 
Und über diese Bezeichnungen braucht man nicht lang diskutieren, da sie alle unmissverständlich sind. (Aber wehe du sprichst mit einem Kategorientheoretiker über Epimorphismen - die verwenden nämlich diese Bezeichnung für einen anderen Begriff. Da liegt also Konfliktpotential, aber das ist eine andere Baustelle.) Also: Deckel druff und Ruhe is... :P Gruss, SirJective PS: "isomorphe Abbildungen" gibt es nicht, höchstens "Isomorphismen" oder "bijektive lineare Abbildungen"
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| 19.08.2004, 12:20 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das könnte dir so passen. Wenn die Rauferei so richtig Spaß macht, dann schreist du: Aufhören! Nicht alles, was du noch nie gehört hast, gibt es nicht. Ich habe mindestens zwei Bücher in meinem Schrank gefunden, in denen die Worte homomorph, isomorph, ... auch bei Abbildungen verwendet werden, darunter der Klassiker von van der Waerden, der aus der Schule Emmy Noethers kommt, die diese Begriffe maßgeblich mit geprägt hat. Und was meinst du zu diesem Artikel: http://www.matheboard.de/lexikon/index.php/Planarer_Graph Und wenn ich schon einmal beim Zuschlagen bin: "Gruß" schreibt man sowohl nach alter als auch nach neuer Rechtschreibung mit Scharf-ß. |
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| 19.08.2004, 13:33 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Leopold, Jetzt mach ich mit.
Wie alt sind denn die Bücher? Begrifflichkeiten aus den 60ern oder 70ern wurden gerade in der Algebra massgeblich geändert, darunter fällt auch das Wort "Erzeugendensystem", welches in den 70er Jahren noch als Synonym für "Basis" verwendet wurde. Und gerade ich bin an mindestens 10 solcher Begriffe während meiner Diplomarbeit gestossen - Begriffe, die aus den 70er Jahren stammen. Es ist leider nicht so, dass man Originaltexte Emmy Noethers einfach so lesen kann, ohne sich vorher zu informieren, was zu ihrer Zeit die Begriffe für eine Bedeutung hatten. Laut meinem Algebraprofessor ist der Begriff "homomorph" als Synonym für "linear" heute manchmal noch gebräuchlich, aber nicht Worte wie "epimorph", "monomorph", "isomorph". Und was ist heute üblich? Warum ist es heute üblich? Das würde mich mal interessieren. Gibts da irgendwelche Quellen? Und zum scharfen s... Ja, wir haben viel Spass bei der dauernden Umstellung von deutscher auf die amerikanische Tastatur. (Beachte auch Herrmann's Law, s. http://www.bruhaha.de/laws.html
)Zum Satz aus dem Wikipediaartikel "planarer Graph" "Zwei Einbettungen sind äquivalent, wenn es isomorphe Abbildung zwischen den Rändern der ihrer Gebiete gibt." meine ich, dass sich da Jakob Voss komplett verhaspelt hat. Der Grammatikfehler wurde am 9. August korrigiert, der Begriff "isomorphe Abbildung" - der nur dort in derWikipedia vorkommt - wurde noch nicht ersetzt. In der Kategorientheorie gibt die Bezeichnungen monomorph und epimorph, aber wie gesagt kenne ich keine neuere Verwendung in der Algebra. Lieben Gruss, Irrlicht |
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| 19.08.2004, 13:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sind die dortigen Gesetze eigentlich verbindlich (z.B. Godwin's Law)? Ich finde es jedenfalls unpassend, daß SirJective Begriffe verbieten will. Das hatten wir schon einmal in Deutschland, als die Nationalsozialisten jüdische Begriffe aus der Mathematik entfernen und eine "deutsche Mathematik" betreiben wollten. 
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| 19.08.2004, 14:11 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 19.08.2004, 15:08 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das sind Entdeckungen nie: "Es handelt sich hierbei nicht um Gesetze im Sinne von Verordnungen und Vorschriften (also etwas typisch Deutsches <g>), sondern um Gesetze im Sinne von Naturgesetzen! Sie wurden also nicht erlassen, sondern entdeckt."
Autsch. Das tat weh. Selbst wenn du es als Scherz oder "Test des Gesetzes" meinst, find ich das nicht lustig. Ich stelle jetzt lediglich fest - moeglicherweise im Widerspruch zu meinen frueheren Beitraegen hier - dass die Begriffe "homomorphe Abbildung" u.a. einmal verwendet wurden, dass aber keines meiner 3 Algebra-Lehrbuecher, 4 LinAlg-Buecher, verschiedene Skripte und Vorlesungen die ich gelesen bzw. gehoert habe, diese Begriffe verwenden. Daraus ziehe ich den Schluss, dass es nicht sinnvoll ist, einem Neuling veraltete Begriffe ohne den Zusatz "veraltet" zu praesentieren. Gruss, SirJective |
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| 19.08.2004, 15:24 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann habe ich wohl verloren. Aber schau einmal hier, etwas aus dem Jahre 2003, vor allem Seite 301, Fußnote: http://www.thi.informatik.uni-frankfurt....n/kap5_klein.ps |
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| 19.08.2004, 22:53 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Leopold, danke für ein Skript, in dem der Begriff "isomorphe Abbildung" verwendet wird. Leider wird er dort nicht definiert. Im vierten Kapitel sehe ich nur eine einzige Verwendung des Begriffs der linearen Abbildung, nämlich die "Linearität der Determinante" (die sofort korrigiert wird zur "Linearität der Determinante in den Zeilen"). Im fünften Kapitel, auf Seite 301, wird der Begriff der Isomorphie von Vektorräumen und in der Fußnote die "isomorphe Abbildung" verwendet, die beide bis dahin nicht definiert sind. Immerhin wurde vorher die Isomorphie von Gruppen definiert. Vermutlich hat der Dozent in der Vorlesung dazugesagt, was er unter einem Vektorraum-Isomorphismus versteht. Aber nun schau dir Seite 303 an:
Diese Definition (im ersten Satz) entspricht nicht meinem Linearitätsbegriff, und die durch "D.h." implizierte Äquivalenz (zu meinem Linearitätsbegriff) ist nicht gegeben. Der Begriff des Vektorraum-Isomorphismus wird bis zum Ende von 5.3 nicht definiert, und danach geht's mit komplexen Zahlen weiter. Aber ich brauch mich ja auch nicht wundern, wenn ich ein Skript einer Vorlesung "Mathematische Grundlagen der Informatik" lese, das von einem Informatik-Dozenten verfasst wurde, der sich anscheinend primär mit Komplexitätstheorie beschäftigt. Mit meinem Satz "Und über diese Bezeichnungen braucht man nicht lang diskutieren, da sie alle unmissverständlich sind." wollte ich eigentlich ausdrücken, dass die Bezeichnungen "isomorphe Abbildung" u.ä. unmissverständlich sind (im Gegensatz zu manch anderen Bezeichnungen, die heute in anderer Bedeutung als früher gebraucht werden), und sich die Diskussion über die Richtigkeit dieser Bezeichnungen erübrigt. Ersetze "veraltet" durch "ungebräuchlich", wenn's dir lieber ist. Oder nenne aktuelle (>=1990) mathematische Fachtexte oder Lehrbücher, die diese Begriffe verwenden. Gruss, SirJective |
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