Bijektion zwischen P(MuN) und P(M) x P(N)

31.10.2014, 15:26

CaptainObviouzZ

Bijektion zwischen P(MuN) und P(M) x P(N)

Servus Leute,
ich bin neu hier im Forum, denn ich habe vor kurzem mit meinem Studium der techn. Kybernetik begonnen bei dem ich natürlich auch HM habe.
Nun zu der Aufgabe die ich nicht verstehe:
"Seien M und N disjunkte endliche Mengen mit |M|=m und |N|=n. Zeigen Sie, dass die Abbildung f(X) =(XnM,XnN) eine Bijektion zwischen P(MuN) und P(M) x P(N)" (Mit "P" ist Potenzmenge gemeint).

Ich stehe hier total auf dem Schlauch und finde einfach keinen Ansatz.
f(X) ist also eine Bijektion zwischen P(MuN) und P(M) x P(N), was ja bedeutet, dass die Mengen P(MuN) und P(M) x P(N) gleich mächtig sind. Damit aber eine Funktion beweißt, dass zwei Mengen gleich groß sind, muss sie ja von der einen in die andere Menge abgebildet werden und hier verzweifel ich. Irgendwas mache ich doch falsch, denn die Funktion f(X) ist wohl kaum abgebildet von P(MuN) -> P(M) x P(N). Wie habe ich das ganze zu verstehen?
MfG Thomas

31.10.2014, 15:35

Captain Awesome

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Hallo,

Zitat:

dass die Abbildung f(X) =(XnM,XnN)

hoffentlich steht das so nicht in der Aufgabe, denn das ist grausam schlechte Notation.
f(X) ist ein Element vpn P(M)xP(N), f ist die Funktion:
$\begin{eqnarray*} f: \mathcal P (M \cup N) \to \mathcal P(M) \times \mathcal (N) , \quad X \mapsto (X\cap M, X\cap N) \end{eqnarray*}$

Es ist zu zeigen, dass dieses f bijektiv ist; also injektiv und surjektiv.

P.S.

Zitat:

Damit aber eine Funktion beweißt

- das hier nichts mit der (Nicht-)Farbe zu tun: Beweis.
- Funktionen beweisen gar nichts, Beweise beweisen. Funktionen zeigen (als Teil eines Beweises)

02.11.2014, 13:27

CaptainObviouzZ

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Bijektion zwischen P(MuN) und P(M) x P(N)
Ich hab mir mal paar Gedanken gemacht, wie ich Injektivität und Surjektivität beweisen kann und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
f injektiv:
Jeder Funktionswert (a,b) kann nur einmal auftreten, da der Schnitt $\begin{eqnarray*} X \cap M \end{eqnarray*}$ immer eindeutig ist. In der Menge M kommt jede Zahl höchstens einmal vor. Also kann es zwischen X und M nur unterschiedliche Schnittmengen geben. Gleiches gilt ja auch für $\begin{eqnarray*} X \cap N \end{eqnarray*}$ .
Wenn also f(k) = f(l) dann muss $\begin{eqnarray*} (k \cap M, k \cap N) = (l \cap M, l \cap N) \end{eqnarray*}$ , weil wenn k die Menge M schneidet dann kommt dafür genau ein Wert heraus. Wenn dieser Schnitt gleich dem Schnitt $\begin{eqnarray*} l \cap M \end{eqnarray*}$ ist, dann muss k = l sein.

f surjektiv:
Wenn die Menge X mit der Menge M geschnitten wird, entstehen alle Teilmengen von M:
$\begin{eqnarray*} X \cap M = P(M) \end{eqnarray*}$ . Gleiches gilt logischerweise auch für $\begin{eqnarray*} X \cap N \end{eqnarray*}$ , weil durch jede Teilmenge von N abgebildet wird. Somit entsteht durch die Abbildung $\begin{eqnarray*} P(M) \times P(N) \end{eqnarray*}$ .

=> f bijektiv

02.11.2014, 23:21

Captain Kirk

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RE: Bijektion zwischen P(MuN) und P(M) x P(N)

Zitat:

Original von CaptainObviouzZ
Jeder Funktionswert (a,b) kann nur einmal auftreten, da der Schnitt $\begin{eqnarray*} X \cap M \end{eqnarray*}$ immer eindeutig ist.

Ich habe keine Ahnung was du damit meinst. Der Schneitt ist alles andere als eindeutig.

Zitat:

In der Menge M kommt jede Zahl höchstens einmal vor.

Wir wissen nicht einmal ob die menge Zahlen enthält. Die kann allles mögliche enthalten.

Zitat:

Also kann es zwischen X und M nur unterschiedliche Schnittmengen geben. Gleiches gilt ja auch für $\begin{eqnarray*} X \cap N \end{eqnarray*}$ .

Ich sehe hier nur eine Behauptung, deren bedeutung ich nicht wirklich verstehe.
Die Schnittmenge von X und M ist eine Menge, nicht verschiedene.

Zitat:

Wenn die Menge X mit der Menge M geschnitten wird, entstehen alle Teilmengen von M: $\begin{eqnarray*} X \cap M = P(M) \end{eqnarray*}$ .

Das ist schon syntaktisch nonsense.
M ist ein Element von P(M) und M (oder Teilmengen davon wie $\begin{eqnarray*} X \cap M \end{eqnarray*}$ ) sind Elemente von P(M) können also nicht die ganze Potenzmenge sein.

Kurz und knapp:
Das ist kein Beweis.

Mal ein par Gegenbsp. zu deinen Behauptungen
Sei M={a,b,c}, N={d,e}
X={a,b}, Y={a,b,e}
Dann ist $\begin{eqnarray*} X\cap M=Y\cap M=\{a,b\} \end{eqnarray*}$ obwohl X und Y verschieden sind.
Und $\begin{eqnarray*} X\cap M={a,b}\neq P(M)=\{\emptyset , \{a\},\{b\},.....\} \end{eqnarray*}$

Was noch auffällt ist, dass du nirgends die Vor. N,M disjun t verwendest.

Zitat:

Könnte mir jemand bitte sagen ob das so seine Richtigkeit hat oder hab ich da beim Beweis was falsch gemacht?

Ich hab schneller auf deinen letzten Post reagiert als du auf meinen, das ist doch was?

03.11.2014, 08:21

CaptainObviouzZ

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Vielen Dank erstmal für die Antwort.
Ich werde da nochmal drüberschauen müssen :/

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