Radikalideal und maximales Ideal

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planlos93 Auf diesen Beitrag antworten »
Radikalideal und maximales Ideal
Meine Frage:
Es sei ein Ideal, . Wir nennen das Radikalideal zu I.
Es sei mit und ein maximales Ideal. Man zeige, dass der Kern des -Algebrenhomomorphismus (wobei die Abbildungen die kanonischen sind) ein maximales Ideal in R ist.


Meine Ideen:
Folgende Überlegungen habe ich schon angestellt:
Der Kern ist ein Ideal wegen des -Algebrenhomomorphismus. Ebenfalls ist er eine echte Teilmenge, da sie Abbildung surjektiv ist.
Jede endlich erzeugte -Algebra, die ein Körper ist, ist isomorph zu .
n ist ein maximales Ideal, daher ist isoomorph zu .
In sind die einzigen Ideale und (0).
Sei . Vergrößert man den Kern um einen Erzeuger y, der nicht im Kern liegt, soll das Ideal bereits der ganze Ring sein.
Jedes Element, das ich in die Abbildung reinschicke, wird zum Ideal.
Hier wird surjektiv in abgebildet. Es kann aber nicht das 0-Ideal entstehen, da y nicht im Kern liegt.


Leider weiß ich nur nicht, wie ich das zu einer kompletten Lösung zusammenstellen kann, weil irgendwas entscheidendes fehlt unglücklich
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn sein?

Desweiteren: Dass der Kern maximal ist, ist äquivalent dazu, dass das Bild ein Körper ist. Und laut deinen Ausführungen hast du das ja schon eingesehen, da du ja behauptest die Gesamtabbildung sei surjektiv.

Edit: Oh man, ist ja einfach als Element von A zu verstehen und ist die Lokalisierung.

Im Folgenden nenne ich das Element aus A auch f.

Zunächst einmal reicht es zu zeigen, dass der Kern von maximal ist. Nun ist es aber so, dass das maximale Ideal mit einem Primideal korrespondiert und da Lokalisierung und Quotientenbildung kommutieren, nimmt die Abbildung folgende Gestalt an:

mit Kern . D.h. zu zeigen ist, dass maximal war.

Entscheidend für den Beweis ist natürlich, dass der Quotientenkörper durch Lokalisierung an einem einzigen Element entsteht (Einen Integritätsbereich, der so etwas zulässt, nennt man Goldmannring). Daraus kann man schon folgern, dass maximal war, also beim Bilden des Quotientenkörpers gar nichts mehr passiert ist. Der erfahrene kommutative Algebraiker sagt auch: A ist ein Hilbert-Ring oder Jacobson-Ring.

Hinreichend für die Behauptung ist z.B. die Tatsache, dass in endlich erzeugten K-Algebren jedes Primideal Durchschnitt maximaler Ideale ist, was wiederum eine Konsequenz aus dem Nullstellensatz ist.
planlos93 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ich werde mich direkt mal dran setzen.
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