Reihenabschätzung der Eulerschen Zahl e

01.11.2014, 13:46

winki2008

Reihenabschätzung der Eulerschen Zahl e

Hallo, obwohl bei diesem Bsp. eine Anleitung steht versteh ich es nicht besonders gut!

Meine Rechenschritte zurzeit:

Geometrische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q} =e<br /> <br /> q=1-\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (1-\frac{1}{e} )^n=e<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} - \sum\limits_{n=0}^m (1-\frac{1}{e} )^n| <10^{-6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | e-q| <10^{-6}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} - \sum\limits_{n=0}^m (1-\frac{1}{e} )^n| <10^{-6} \end{eqnarray*}$

Ich glaube mit diesem Ansatz kann man nicht e ausrechnen oder?

[attach]35906[/attach]

01.11.2014, 14:12

HAL 9000

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Du bist komplett auf dem falschen Dampfer. unglücklich

Es geht darum (Anleitung!) den Reihenrest $\begin{align*} r_N = \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{n!} \end{align*}$ abzuschätzen. Aber nicht so wie du nach dem Motto "ich nehme mir irgeneine geometrische Reihe und hoffe, dass es irgendwie damit zu tun hat", sondern etwas zielgerichteter: Für $\begin{align*} n\geq N \end{align*}$ in dieser Reihenrestsumme gilt

$\begin{align*} n! = N! \cdot \underbrace{(N+1)(N+2)\cdot \ldots \cdot (n-1)n}_{\mbox{genau $(n-N)$ Faktoren}} \geq N!\cdot (N+1)^{n-N} \end{align*}$ ,

was eingesetzt

$\begin{align*} r_N \leq \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{N!\cdot (N+1)^{n-N}} \end{align*}$ .

Und jetzt hast du rechts die Struktur einer geometrischen Reihe, und zwar mit $\begin{align*} q=\frac{1}{N+1} \end{align*}$ .

01.11.2014, 15:28

winki2008

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Danke für deine Hilfe!

Dennoch versteh ich noch immer nicht was, wir jetzt mit der soeben gefundenen rationalen Zahl q anfangen. Kann ich diese jetzt einfach in die Betragsungleichung einsetzen und beweisen und dann war's das??

01.11.2014, 15:50

HAL 9000

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Zunächst mal rechnen wir den Wert dieser geometrischen Reihe wirklich aus:

$\begin{align*} \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{N!\cdot (N+1)^{n-N}} = \frac{1}{N!}\cdot \sum_{j=0}^{\infty} \left( \frac{1}{N+1} \right)^j = \frac{1}{N!} \cdot \frac{N+1}{N} = \frac{1}{N!} + \frac{1}{N\cdot N!} \end{align*}$ .

Als Approximation für $\begin{align*} e \end{align*}$ nehmen wir nun eine Partialsumme der Reihe $\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e \end{align*}$ , also passend zum obigen Reihenrest $\begin{align*} r_N \end{align*}$ wäre das etwa $\begin{align*} e_N:=\sum_{n=0}^{N} \frac{1}{n!} \end{align*}$ . Bleibt die Frage, wie groß man $\begin{align*} N \end{align*}$ wählen muss, dass die geforderte Genauigkeit erreicht wird. Und dazu dient diese Abschätzung in meinem letzten Beitrag. Durch sie wissen wir

$\begin{align*} 0 < e-e_N = r_{N+1} = r_N-\frac{1}{N!} < \frac{1}{N\cdot N!} \end{align*}$ .

Wenn wir also jetzt ein $\begin{align*} N \end{align*}$ finden mit $\begin{align*} \frac{1}{N\cdot N!} < 10^{-6} \end{align*}$ , dann gilt für dieses $\begin{align*} N \end{align*}$ dann auch $\begin{align*} |e-e_N| < 10^{-6} \end{align*}$ , was letztendlich ja dein Ziel hier ist!

01.11.2014, 17:12

winki2008

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Respekt, ich hätte da jetzt keine Ahnung gehabt, wie man das Beispiel löst.

01.11.2014, 17:17

HAL 9000

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Dass dein ursprünglicher Weg nicht richtig sein konnte, das sollte dir klar sein:

$\begin{align*} {\color{red}e} \end{align*}$ mit Hilfe von $\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^m \left( 1-\frac{1}{{\color{red}e}}\right)^n \end{align*}$ berechnen ... wie bitte? Die Katze beißt sich in den Schwanz.

Ganz zu schweigen davon, dass $\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^m \left( 1-\frac{1}{e}\right)^n \end{align*}$ auch nicht rational ist.

03.11.2014, 12:33

winki2008

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Danke, klingt eigentlich alles logisch, was du sagst

Aber muss man das N-te Reihenglied jetzt tatsächlich ausrechnen für den Fall 10^{-6}

mit dem Taschenrechner, wäre es ab den neunten Folgeglied erst erfüllt??

03.11.2014, 13:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von winki2008
Aber muss man das N-te Reihenglied jetzt tatsächlich ausrechnen für den Fall 10^{-6}

Was denn sonst außer "tatsächlich ausrechnen" ? Und nicht eigentlich das N-te Reihenglied, sondern die N-te Partialsumme $\begin{align*} e_N \end{align*}$ .

Die Aufgabenstellung ist doch eindeutig: Du sollst ein passendes rationales $\begin{align*} q \end{align*}$ angeben - und wenn schon so gefragt wird, dann am besten als Bruch.

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