Beweis von Surjektivität und Injektivität bei Kompositionen

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kathi95 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Surjektivität und Injektivität bei Kompositionen
Meine Frage:
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei diesem Beweis helfen?

Es seien X; Y;Z Mengen und f : X ! Y , g : Y ! Z Abbildungen. Sei weiter
h : X ! Z, x 7! g(f(x)) die Komposition von f und g. Beweisen Sie:
(i) Ist h surjektiv, dann auch g.
(ii) Ist h injektiv, dann auch f.
(iii) In (i) muss f nicht surjektiv sein und in (ii) g nicht injektiv. Geben Sie
Beispiele an!

Meine Ideen:
Ich habe leider noch keine Idee für einen Ansatz, geschweige denn, wie es weitergehen soll.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Surjektivität und Injektivität bei Kompositionen
Bitte bemühe dich um eine lesbare Darstellung deiner Formeln: Wie kann man Formeln schreiben?
kathi95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Surjektivität und Injektivität bei Kompositionen
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei diesem Beweis helfen?

Es seien X; Y;Z Mengen und f : X -> Y , g : Y -> Z Abbildungen. Sei weiter
h : X -> Z, x->g(f(x)) die Komposition von f und g. Beweisen Sie:
(i) Ist h surjektiv, dann auch g.
(ii) Ist h injektiv, dann auch f.
(iii) In (i) muss f nicht surjektiv sein und in (ii) g nicht injektiv. Geben Sie
Beispiele an!

Meine Ideen:
Ich habe leider noch keine Idee für einen Ansatz, geschweige denn, wie es weitergehen soll.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Surjektivität und Injektivität bei Kompositionen
In 1) ist zunächst zu zeigen dass h surjektiv ist. Wie zeigt man allgemein dass eine Funktion surjektiv ist?
kathi95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Surjektivität und Injektivität bei Kompositionen
Ganz allgemein indem man zeigt dass h alle möglichen y werte annimmt aber ich weiß nich wie es bei diesem h speziell ist, da es ja eine verkettete funktion ist
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Surjektivität und Injektivität bei Kompositionen
Wirklich speziell ist daran eben nichts.
Zu zeigen ist erstmal nur, dass surjektiv ist, nicht dass surjektiv ist.

Dass surjektiv ist ist die Voraussetzung, d.h. zu jedem gibt es ein so dass .

Tipp: Beweis durch Kontraposition. Zeige: "ist nicht surjektiv, dann ist auch nicht surjektiv."
 
 
kathi95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Surjektivität und Injektivität bei Kompositionen
Ok, das habe ich hinbekommen, und bei dem injektivkram ist es vom aufbau her ja dasselbe
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