Abelsche Gruppe

01.11.2014, 17:48

dina1994

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Abelsche Gruppe

Meine Frage:
Hallo,

ich komme mit einer Aufgabe nicht weiter,wäre froh wenn mir jemand helfen würde.

Wir betrachten die Menge R der reellen Zahlen mit den folgenden Verknüpfungen :

o steht für verknüpfung

(i) xoy := y für x,y element R
(ii) xoy:= x+y+x*y für x,y element R
(iii) xoy:= x-y für x,y element R
(iv) xoy:= x+y-1 für x,y element R

Man untersuche für die Operationen definiert in (i)-(iv),ob sie kommutativ oder assoziativ sind.Bezüglich welcher Operation ist (R,o) eine Gruppe ?

Meine Ideen:
Also ich habe davon zwei Aufgaben lösen können .Einmal (i) da habe ich raus,dass die Verknüpfung keine gruppe ist.

Bei (iv) habe ich raus ,dass die Verknüpfung eine Gruppe ist .

Und bei der (ii) und (iii) komm ich nicht weiter .
Bei (ii) ist es doch so ,dass es nicht assoziativ ist ,aber weiter komm ich nicht ,ich weiß nicht wie ich zeigen soll mit dieser Verknüpfung obs kommutativ ist und wie das mit dem linksneutralen und linksinversen element ist.

Bei (iii) habe ich nichts unglücklich

unglücklich

.

Danke im vorraus.

01.11.2014, 17:51

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
Also ich habe davon zwei Aufgaben lösen können .Einmal (i) da habe ich raus,dass die Verknüpfung keine gruppe ist.

Eine Verknüpfung kann keine Gruppe sein. Wenn damit $\begin{eqnarray*} (R,\circ) \end{eqnarray*}$ gemeint ist: Kannst du dies begründen?

Zitat:

Original von dina1994
Bei (iv) habe ich raus ,dass die Verknüpfung eine Gruppe ist .

Kannst du dies auch begründen?

01.11.2014, 17:57

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
Bezüglich ist (i) keine (R,o) keine Gruppe ,so meine ich das .
Bei (i) ist es so,dass es assoziativ ist jedoch nicht kommutativ. Und beim neutralen element habe ich raus,dass das neutrale Element nicht eindeutig ist und damit ist dies ein Widerspruch ,da ich in meinem Skript stehen habe dass es genau ein linksneutrales Element gibt ,dasher habe ich einen Widerspruch.

Bei (iv) habe ich ,dass es assoziativ und kommutativ ist. Ich habe ein linksneutrales und linksinvereses element gefunden und somit gehört es zur abelschen Gruppe.

Bei den anderen beiden wusste ich leider nicht wie ich weitermachen soll.

01.11.2014, 18:10

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
Bezüglich ist (i) keine (R,o) keine Gruppe ,so meine ich das .
Bei (i) ist es so,dass es assoziativ ist jedoch nicht kommutativ. Und beim neutralen element habe ich raus,dass das neutrale Element nicht eindeutig ist und damit ist dies ein Widerspruch ,da ich in meinem Skript stehen habe dass es genau ein linksneutrales Element gibt ,dasher habe ich einen Widerspruch.

Warum ist das neutrale Element nicht eindeutig? Und warum ist diese Verknüpfung nicht kommutativ?

Zitat:

Original von dina1994
Bei (iv) habe ich ,dass es assoziativ und kommutativ ist. Ich habe ein linksneutrales und linksinvereses element gefunden und somit gehört es zur abelschen Gruppe.

Kannst du das auch begründen?

Bei 2) und 3) geht es ja auch nur darum, die Gruppenaxiome zu überprüfen. Wie weit bist du gekommen und woran scheiterst du?

Es ist ein bisschen müßig, dir weiterzuhelfen, wenn du deine Behauptungen nicht begründest unglücklich

unglücklich

01.11.2014, 18:15

RavenOnJ

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994

Bei (ii) ist es doch so ,dass es nicht assoziativ ist ,...

zu (ii): Komischerweise ist die Verknüpfung assoziativ, obwohl sie auf den ersten Blick nicht danach aussieht.
$\begin{align*} x\circ(y\circ z) &= x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)= x+y+z+yz+xy+xz+xyz\\ (x\circ y)\circ z &= (x+y+xy) + z+ (x+y+xy)z= x+y+z+xy+xz+yz+xyz =x\circ(y\circ z) \ \end{align*}$

Edit: @Math1986 Hat sich überschnitten. Ich halt mich dann wieder raus.

01.11.2014, 18:17

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
Also bei (i) ist es nicht eindeutig ,da egal welche zahl man mit a verknüpft es kommt immer a raus weil es ja lautet xoy:= y , bsp. 2 o a = a , 3 o a = a so habe ich das aufgeschrieben .
kommutativ ist sie nicht da x o y = y und y o x = x ist also ist es nicht kommutativ.

ich habe die (iv) begründet ,soll ich jetzt die komplette rechnung hier aufschreiben ??

ich versteh einfach nicht wie ich das bei der (ii) z.b machen soll . Mich verwirrt es. x o y := x+y+x*y ich weiss nicht wie ich hier die assoziativität beweisen soll . (a o b) o c = a o (b o c)
(a o b) o c =( a+b+a*b)o c =...weiter komm ich nicht unglücklich

unglücklich

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01.11.2014, 18:21

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
wie komme ich auf diese Gleichung :

(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z ???ich verstehe nicht woher man man weiß ,dass es (x+y+xy)z ist ? Ich stehe grade auf dem Schlauch

01.11.2014, 18:28

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
Also bei (i) ist es nicht eindeutig ,da egal welche zahl man mit a verknüpft es kommt immer a raus weil es ja lautet xoy:= y , bsp. 2 o a = a , 3 o a = a so habe ich das aufgeschrieben .

Was soll "ist es nicht eindeutig" heißen?

Zitat:

Original von dina1994
kommutativ ist sie nicht da x o y = y und y o x = x ist also ist es nicht kommutativ.

Richtig. Gegenbeispiel wäre schön.

Zitat:

Original von dina1994
ich habe die (iv) begründet ,soll ich jetzt die komplette rechnung hier aufschreiben ??

Mir egal, wenn du es nicht besprechen möchtest dann kannst du es auch bleiben lassen.

Zitat:

Original von dina1994
ich versteh einfach nicht wie ich das bei der (ii) z.b machen soll . Mich verwirrt es. x o y := x+y+x*y ich weiss nicht wie ich hier die assoziativität beweisen soll . (a o b) o c = a o (b o c)
(a o b) o c =( a+b+a*b)o c =...weiter komm ich nicht unglücklich

unglücklich

Es ist doch
$\begin{eqnarray*} x\circ y=x+y+x\cdot y \end{eqnarray*}$
also ist
$\begin{eqnarray*} \left(x\circ y\right)\circ z=\left(x+y+x\cdot y\right)\circ z=\ldots \end{eqnarray*}$
Damit solltest du nu weitermachen.

01.11.2014, 18:37

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
ok habs verstanden war ein kleiner denkfehler von mir ...

aber wie kann ich bei der (ii) und (iii) zeigen ob es ein linksinverses oder neutrales element gibt .

für das linksneutrale element muss ja gelten : e o a = a
und für das linksinverse a´ o a = e

01.11.2014, 18:46

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe
Und genau die Gleichung $\begin{eqnarray*} e\circ a = a \end{eqnarray*}$ musst du nun umformen:
$\begin{eqnarray*} e\circ a=e+a+e*a=a \end{eqnarray*}$ soll also gelten.
Hier nun weiter umformen.

Korrektur!

01.11.2014, 18:54

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
was soll ich da noch umformen ?? ich versteh nicht was mir das jetzt sagt e+a+ea= a ich habe ja keine zahlen damit ich sehen kann ob es ein linksneutrales element gibt .

01.11.2014, 19:02

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
was soll ich da noch umformen ?? ich versteh nicht was mir das jetzt sagt e+a+ea= a ich habe ja keine zahlen damit ich sehen kann ob es ein linksneutrales element gibt .

Du hast doch Zahlen. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} e\circ a=e+a+e*a=a \end{eqnarray*}$ ist eine Gleichung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die Variablen kannst du ganz normal als reellwertige Zahlen betrachten und auch so mit ihnen rechnen. So haben wir die ganze Zeit schon umgeformt.

01.11.2014, 19:07

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
heißt das jetzt ,dass es kein neutrales element gibt ?? da e+a+ea nicht a ist ???

01.11.2014, 19:19

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
da e+a+ea nicht a ist ???

Warum sollte das nicht so sein? Hast du ein Gegenbeispiel parat?

01.11.2014, 19:24

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
wenn man für e und a zahlen einsetzt kann kein a rauskommen ... oh ich versteh nicht wie ich da weiter machen muss traurig

traurig

01.11.2014, 19:27

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
wenn man für e und a zahlen einsetzt kann kein a rauskommen ... oh ich versteh nicht wie ich da weiter machen muss traurig

traurig

Du musst ein festes $\begin{align*} e\in\mathbb R \end{align*}$ finden, so dass für alle $\begin{align*} a\in\mathbb R \end{align*}$ die Gleichung $\begin{align*} e+a+e\cdot a=a \end{align*}$ erfüllt ist.

Was passiert zum beispiel wenn du da $\begin{align*} e=0 \end{align*}$ einsetzt?

01.11.2014, 19:55

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
dann steht da a = a

und dann ist mein linksneutrales element 0 .

aber wie sieht es jetzt für das linksinverse element aus ?? inverse von 0 ist das nicht 0 ??

a´ o a = e ,d.h a´ o a = 0 müsste rauskommen

01.11.2014, 20:00

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

inverse von 0 ist das nicht 0 ??

Nur bezüglich der Multiplikation, nicht bezüglich dieser Verknüpfung.

For das Inverse Element gehst du nun genau so vor wie oben, $\begin{eqnarray*} a'\circ a = 0 \end{eqnarray*}$ umformen und ausprobieren, welches Element als inverses in Frage kommt. Lass dir ruhig ein wenig mehr Zeit.

01.11.2014, 20:21

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
vielleicht -a ?

01.11.2014, 21:56

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
vielleicht -a ?

Setzt es doch mal ein. Was kommt heraus?

01.11.2014, 22:37

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
Am Ende steht a^2 =0 dann zieh ich die Wurzel und a=0 oder ?

02.11.2014, 09:06

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
Am Ende steht a^2 =0 dann zieh ich die Wurzel und a=0 oder ?

Die Aussage muss ja für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gelten, was ist mit $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ ? Kommt dann auch 0 heraus?

02.11.2014, 10:57

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
Ich setz das ja nicht für mein a ein sondern für mein a' und wenn ich für mein a' 1 einsetze kommt da nicht 0 raus weil dann habe ich 1+a+1*a=0 das muss dann gelten dann habe ich 1+2a ist nicht 0

02.11.2014, 11:13

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
Ich setz das ja nicht für mein a ein sondern für mein a' und wenn ich für mein a' 1 einsetze kommt da nicht 0 raus weil dann habe ich 1+a+1*a=0 das muss dann gelten dann habe ich 1+2a ist nicht 0

Wie bitte? Ich verstehe gerade überhaupt nicht was du meinst verwirrt

verwirrt

Wenn $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ das Inverse zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ das Inverse zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , also wäre $\begin{eqnarray*} (-1)\circ 1=0 \end{eqnarray*}$ . Hast du mal nachgerechnet ob das stimmt?

02.11.2014, 11:23

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
achso ich habe das anders verstanden . Beim linksinversen ist das dann so ,dass ich ein a festlege und dazu dass inverse suche wie z.b a=1 also ist a´= -1 ??? hab ich das jetzt richtig verstanden ?

wenn ich -1 o 1 =0 ist ,dann habe ich -1+1-1=0 dann habe ich -1=0 ?

02.11.2014, 11:39

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
achso ich habe das anders verstanden . Beim linksinversen ist das dann so ,dass ich ein a festlege und dazu dass inverse suche wie z.b a=1 also ist a´= -1 ??? hab ich das jetzt richtig verstanden ?

Ja

Zitat:

Original von dina1994
wenn ich -1 o 1 =0 ist ,dann habe ich -1+1-1=0 dann habe ich -1=0 ?

Richtig, also ist $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ nicht invers zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

02.11.2014, 11:44

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
ja was muss ich jetzt machen ?? was anderes inverses zu 1 suchen ??

egal was für eine zahl ich nehme da wird nicht 0 rauskommen , zb -2 o 2 ist nicht null was muss ich jetzt machen

02.11.2014, 13:08

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
bei den anderen aufgaben da hab ich immer nur was für a´ eingesetzt und das a stehen gelassen und dann kam ich dann immer auf das e

02.11.2014, 14:39

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe
Ich kann deinen Ausführungen leider immer noch nicht folgen.

Du musst zu einem festen $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein (von a abhängiges) $\begin{eqnarray*} a'\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} a\circ a'=0 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} a\circ a'=a+a'+a\cdot a' \end{eqnarray*}$ ist also die Gleichung $\begin{eqnarray*} a+a'+a\cdot a'=0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ aufzulösen. Versuch das doch einfach mal. Zur Not eben mal etwas länger darüber nachdenken.

02.11.2014, 14:51

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
habe ich schon ..aber ich habe da sowas rausbekommen ..

a+a´+aa´=0 /-a-a´
aa´= -a-a´ / durch a´
a= -a/a´ -1

das habe ich raus ... traurig

traurig

02.11.2014, 15:04

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe
Das sieht doch schonmal gut aus!
Du musst nur nach $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ auflösen und nicht nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , d.h. auf einer Seite muss das $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ alleine stehenund auf der anderen Seite darf kein $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ mehr stehen.

02.11.2014, 15:28

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
ok ich habe jetzt raus ,dass a´ = -1 ist kann das stimmen ??
a+a´+aa´=0
a´+aa´=-a
1+a=-a/a´
1+a/a = -a´
1= -a´
-1=a´

kann das stimmen?? trotzdem weiß ich nicht was ich jetzt machen solll..

und habe iii auch gemacht ich habe raus ,dass es assoziativ ist aber nicht kommutativ stimmt dies ??

danke

02.11.2014, 16:14

Math1986

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RE: Abelsche Gruppe
Bitte überprüfe deine Lösung doch mal selbstständig, ich bin raus aus diesem Thema.

02.11.2014, 18:29

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
würde ich das selbständig hinbekommen ,dann würde ich hier ja keine Fragen stellen....

Ist das so schlimm ,wenn du mir sagst ,wie man auf das inverse element kommt ...ich habe den ganzen Tag probiert dadrauf zu kommen ich weiß einfach nicht wie das geht...kann es sein ,dass es kein inverses element gibt ??

02.11.2014, 21:36

RavenOnJ

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
ok ich habe jetzt raus ,dass a´ = -1 ist kann das stimmen ??
a+a´+aa´=0
a´+aa´=-a
1+a=-a/a´
1+a/a = -a´
1= -a´
-1=a´

kann das stimmen??

Nein, kann nicht stimmen. Weißt du etwa nicht, was Ausklammern ist? Eine Gleichung wie $\begin{align*} a'+a+aa'=0 \end{align*}$ nach $\begin{align*} a' \end{align*}$ aufzulösen ist Stoff der geschätzt 6./7. Klasse. Du erwartest nicht ernsthaft, dass dir dabei im Hochschulbereich geholfen wird, oder?

Zitat:

und habe iii auch gemacht ich habe raus ,dass es assoziativ ist aber nicht kommutativ stimmt dies ??

Nicht kommutativ stimmt. Assoziativ stimmt aber nicht.

02.11.2014, 23:13

dina1994

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RE: Abelsche Gruppe
Bei iii ist es ja x o y := x-y

Also habe ich bei der assoziativität ;

(x o y) o z = (x-y) o z = x-y-z

x o ( y o z) = x o (y o z) = x-y-z

Also ist es doch assoziativ oder nicht ??

02.11.2014, 23:30

RavenOnJ

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RE: Abelsche Gruppe

Zitat:

Original von dina1994
Bei iii ist es ja x o y := x-y

Also habe ich bei der assoziativität ;

(x o y) o z = (x-y) o z = x-y-z

x o ( y o z) = x o (y o z) = x-y-z

Also ist es doch assoziativ oder nicht ??

Nein! Minus mal Minus = Plus, gell? $\begin{align*} x\circ (y\circ z) = x-(y-z)= x-y{\textcolor{green}{\textbf{ + }}}z\not= (x\circ y)\circ z \end{align*}$

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