Optimierungsmodell in Standardform umwandeln

01.11.2014, 18:29

zahlenknecht

Optimierungsmodell in Standardform umwandeln

Hallo,

ich habe hier eine kurze Frage an euch.

Gegegeben ist folgendes Optimierungsmodell:

$\begin{eqnarray*} min z = 4x_{1} - 3x_{2} + 7x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s.t. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1x_{1} + 03x_{2} = 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x_{1} + 05x_{2} \geq 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1x_{1} + 01x_{3} \leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} , x_{2} , x_{3} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Das ist meine Lösung dazu:

$\begin{eqnarray*} min z = 4x_{1} - 3x_{2} + 7x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s.t. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1x_{1} + 03x_{2} + x_{4}= 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x_{1} + 05x_{2} + x_{5} = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1x_{1} + 01x_{3} + x_{6}= 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4}, x_{5}, x_{6}\geq 0 \end{eqnarray*}$

Habe ich das Prinzip der Schlupsvariablen richtig verstanden und die Umwandlung richtig gemacht? Ist es nicht so, dass ich für jede Restriktion eine eigene Schlupfvariable gebe, damit aus der Ungleichung eine Gleichung wird?

Würde mich über jede Hilfe freuen.

Vielen Dank im vorraus.

MfG

01.11.2014, 18:33

Math1986

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RE: Optimierungsmodell in Standardform umwandeln
In der ersten Nebenbedingung hast du ja schon eine Gleichung, warum führst du dort eine Schlupfvariable ein? verwirrt

Bei der weiten Nebenbedingung hast du dich im Vorzeichen vertan.

Die dritte Nebenbedingung ist richtig umgeformt.

01.11.2014, 18:52

zahlenknecht

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Wäre das so richtig? (Habe die Gleichung noch etwas umgeformt, damit es übersichtlicher wird)

$\begin{eqnarray*} min z = 4x_{1} - 3x_{2} + 7x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s.t. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1x_{1} + 03x_{2} + 00 = 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x_{1} + 05x_{2} - x_{4} = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1x_{1} + 01x_{3} + x_{5}= 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4}, x_{5} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Müssen die Schlupfvariablen bei $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ Gleichungen negativ sein bzw. bei $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ Gleichungen positiv? Oder was habe ich falsch gemacht?

01.11.2014, 18:57

Math1986

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Richtig.

Zur Herleitung. Es ist
$\begin{eqnarray*} 4x_{1} + 05x_{2} \geq 7 \end{eqnarray*}$ , um hier auf eine Gleichheit $\begin{eqnarray*} \underbrace{4x_{1} + 05x_{2}}_{\geq 7} - x_{4} = 7 \end{eqnarray*}$ zu kommen musst du also einen positiven Wert abziehen.

02.11.2014, 22:33

zahlenknecht

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In meinen Unterlagen habe ich gesehen, dass man das auch umwandeln kann, indem man aus einer min eine max Zielfunktion macht und die Vorzeichen ändert. Die Nebenfunktionen nimmt man doppelt, wobei man in der doppelten die Vorzeichen ändert.

Ist das jetzt eine Alternative Variante das ganze umzuwandeln oder ist das was ich beschrieben habe was anderes? So wie ich es gemacht habe finde ich es viel einfacher.

02.11.2014, 22:57

Math1986

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Zitat:

Original von zahlenknecht
In meinen Unterlagen habe ich gesehen, dass man das auch umwandeln kann, indem man aus einer min eine max Zielfunktion macht und die Vorzeichen ändert.

Das hat aber nichts mit der Nebenbedingung zu tun, und ändert diese nicht.

Zitat:

Original von zahlenknecht
Die Nebenfunktionen nimmt man doppelt, wobei man in der doppelten die Vorzeichen ändert.

Diesen Satz verstehe ich gar nicht.

Zitat:

Original von zahlenknecht
Ist das jetzt eine Alternative Variante das ganze umzuwandeln oder ist das was ich beschrieben habe was anderes? So wie ich es gemacht habe finde ich es viel einfacher.

So wie du es in deinem letzten Beitrag beschrieben hast ist es richtig, das davor war falsch.

02.11.2014, 23:03

zahlenknecht

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Sorry, falls es zu unverständlich war. Ich habe hier ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} min z = 6x_{1} - 8x_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s.t. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x_{1} + 2x_{2} = 14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} , x_{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

wird zu:

$\begin{eqnarray*} max z = -6x_{1} + 8x_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s.t. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x_{1} - 2x_{2} + x_{4} = -14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} , x_{2}, x_{3}, x_{4} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, hier sind keine Ungleichungen, aber so ist es in den Unterlagen als Beispiel zur Umwandlung in Standardform.

02.11.2014, 23:10

Math1986

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Durch das Beispiel wird es nur noch verwirrender. unglücklich

So ergibt das jedenfalls keinen Sinn.

Die Umformung der Zielfunktion ist richtig, hat aber nichts mit den Umformungen der Nebenbedingungen zu tun.

Es macht aber überhaupt keinen Sinn, die Gleichungen so umzuformen. Überhaupt, das System

Zitat:

$\begin{eqnarray*} min z = 6x_{1} - 8x_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s.t. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x_{1} + 2x_{2} = 14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} , x_{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

ist doch bereits in Standardform, wozu überhaupt umformen? Und was soll das alles, und wer hat sich das ausgedacht?

02.11.2014, 23:17

zahlenknecht

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In den Unterlagen ist das ganze unter der Simplex-Methode und dass die Umwandlung in die Standardform das ganze ermöglicht. Es hat mich auch verwirrt, dass dort zwei verschiedene Sachen gezeigt werden ohne irgendwelche Begründungen.

Also kann ich diese Art der Umformung, falls es überhaupt eine sinnvolle ist, ganz vergessen und nur das machen was ich vorher richtig gemacht habe oder?

02.11.2014, 23:19

Math1986

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Zitat:

Original von zahlenknecht
Also kann ich diese Art der Umformung, falls es überhaupt eine sinnvolle ist, ganz vergessen und nur das machen was ich vorher richtig gemacht habe oder?

Ja, vergiss das lieber ganz schnell wieder unglücklich

Dieses beispiel ist doch bereits in der Standardform? Warum also überhaupt umformen?

Zitat:

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