Äquivalenzklassen und Faktormenge

02.11.2014, 21:00	hunk	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen und Faktormenge Hallo an alle, ich habe eine Verständnisfrage zu folgender Aufgabe: Sei L die Menge aller Geraden in der Ebene. Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen? Beschreiben Sie in diesen Fällen die Äquivalenzklassen und geben Sie die Faktormenge an. $\begin{eqnarray} R1 := \{(a, b) \in L \times L\ \|\ a\ und\ b\ sind\ parallel\ oder\ gleich.\} \end{eqnarray}$ Nun gut, wie man feststellt, dass es sich hier um eine Äquivalenzrelation handelt ist mir klar, aber ich habe keinen Schimmer wie ich Äquivalenzklassen und Faktormenge angeben soll... Muss das für eine ganze Reihe an Aufgaben machen. Wäre sehr dankbar, wenn es jemand für dieses eine Beispiel erklären könnte. Dann krieg ich den Rest sicher selbst hin. Vielen Dank im Voraus!
02.11.2014, 21:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklasen sind halt parallele Geraden. Interessanter ist da schon die Beschreibung der Faktormenge. Dazu sollte man sich einen Punkt fixieren (Ursprung) und dann besteht die Faktormenge gerade aus den Geraden durch den Ursprung. Das kannst du dir schnell überlegen.
02.11.2014, 21:14	hunk	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal, aber irgendwie ist das immer noch nicht so klar... wie könnte denn eine formal korrekte Antwort aussehen?
03.11.2014, 10:38	hunk	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wäre diese Antwort hier korrekt? $\begin{eqnarray} a \sim b\ gdw.\ a\ \parallel b\ oder\ a = b. \end{eqnarray}$ Es gibt 2 Äquivalenzklassen: Parallelen und Geraden zu denen kein anderes Element aus $\begin{eqnarray} L \times L \end{eqnarray}$ Parallelität oder Gleichheit aufweist. Ein Repräsentant der ersten Äquivalenzklasse ist $\begin{eqnarray} x \in L \times L\ \|\ \exists\ y \in L \times L\ sodass\ x = y. \end{eqnarray}$ Ein Repräsentant der anderen Äquivalenzklasse ist $\begin{eqnarray} z \in L \times L\ \|\ \nexists\ w \in L \times L\ sodass\ w = z\ oder\ w \parallel z. \end{eqnarray}$ Danke schon mal!
03.11.2014, 10:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung: Die übliche Definition der Parallelität beinhaltet eigentlich die Eigenschaft $\begin{align} a \parallel a \end{align}$ für alle Geraden $\begin{align} a \end{align}$ , so dass man sich die überausführliche Schreibweise " $\begin{align} a \parallel b \end{align}$ oder $\begin{align} a=b \end{align}$ " eigentlich schenken kann, d.h. " $\begin{align} a \parallel b \end{align}$ " sollte stattdessen genügen.
03.11.2014, 11:13	hunk	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL. Macht Sinn. Interessant ist auch die Voraussetzung "a und b sind parallel oder gleich oder schneiden sich." Kann eine Voraussetzung mit sich widersprechenden Bedingungen überhaupt reflexiv sein? (Alle Parallelen sind parallel zu sich selbst, aber keine Gerade schneidet sich selbst.) Ist dieses "oder" also erfüllt, wenn eine der Bedingungen gilt, oder müssen alle gleichzeitig möglich sein, damit Reflexivität angenommen werden kann?
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