Lineares Gleichungssystem mit höchstens einer Lösung

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leitwolf Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem mit höchstens einer Lösung
Hey Leute,

ich hab mal wieder eine Frage. Folgende Aufgabenstellung:

Seien mit . Zu zeigen:

a) Das LGS hat für jedes höchstens eine Lösung

Meine Lösung sieht so aus, dass ich voraussetze und annehme um zu zeigen, dass ist.

Jetzt frage ich mich aber ob das nicht noch irgendwie schöner geht? Da es sich ja um Matrizen handelt, fühlt sich eine Lösung in dieser Schreibweise nicht richtig an. Wir sollen das nicht über den Rang einer Matrix begründen!

Danke!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem mit höchstens einer Lösung
Warum multiplizierst du nicht einfach mit von links. Die Eindeutigkeit folgt dann automatisch.
leitwolf Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann...


aufgrund der Assoziativität
// somit
//


...hab ich das richtig verstanden?
leitwolf Auf diesen Beitrag antworten »

..und bei b) bin ich mir jetzt auch nicht mehr sicher. Kann man die ähnlich lösen? Ich hätte das mit dem Summenzeichen gemacht...

b) Das LGS hat für jedes mindestens eine Lösung
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Bei b) kannst Du das x doch direkt angeben, da Du weisst, dass
leitwolf Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich sehe gerade den Unterschied zu a) nicht. Wie zeige ich, dass es mindestens eine Lösung gibt? Kann ich jetzt auch einfach mit A von links multiplizieren?

Sorry, ich arbeite zum ersten Mal mit Matrizen... geschockt
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt doch b=Eb und das wiederum ist was?
leitwolf Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre

b = Eb = (A'A)b = b

Aber ich scheine irgendwas Elementares noch nicht verstanden zu haben.

Auf der linken Seite der Gleichung habe ich A'x und selbst wenn ich es mit der Einheitsmatrix multipliziere, ändert sich ja nichts. Multipliziere ich ein A hinzu, kann ich zwar annehmen A * (A'x) = (A*A')x = (A'*A)x = E^(n)*x = x da die Kommutativität in diesem Fall gegeben ist, aber das Ergebnis wäre dann x = Ab, was inhaltlich doch dasselbe zeigt wie a) oder nicht?

Ich verstehe es nicht unglücklich
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von leitwolf
Multipliziere ich ein A hinzu, kann ich zwar annehmen A * (A'x) = (A*A')x = (A'*A)x = E^(n)*x = x da die Kommutativität in diesem Fall gegeben ist, ...


Inwiefern sollten A und A' vertauschen?

Es ist ein bisschen blöd vom Aufgabensteller, dass in der a) der Vektor x n-dimensional ist, in der b) aber m-dimensional. Komm da besser nicht durcheinander.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du suchst ein x mit . Lässt sich da nichts aus machen? Immerhin sieht das schon sehr ähnlich aus.
leitwolf Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir ist zumindest klar geworden, dass mir noch so einiges an Verständnis für die ganze Geschichte fehlt. Ich komme so nicht weiter und werde die Aufgabe noch mal versuchen anhand meines Skripts nachzuvollziehen.

Danke für die Hilfe soweit!! Blumen
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dann halt noch den letzten Schritt:
Für welches x ist also auf jeden Fall ?
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