Injektivität zeigen

03.11.2014, 17:09

Lara90

Injektivität zeigen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K' \end{eqnarray*}$ seien zwei Körper und $\begin{eqnarray*} \gamma :K \Rightarrow K' \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \gamma (x+y) = \gamma (x)+\gamma (y), \gamma (xy)=\gamma (x)\gamma (y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall xy \in K \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \gamma (0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma (1)=1 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ injektiv ist!

Meine Ideen:
Um Injektivität zu zeigen würde ich wie folgt vorgehen:

Aus $\begin{eqnarray*} \gamma (x) = \gamma (y) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$

Mir war die Methode der Gleichungssysteme immer die liebste.
Also Gleichungssystem aufstellen und zeigen das $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ ist.

Meine bisherigen Versuche endeten immer im $\begin{eqnarray*} 0 = 1 \end{eqnarray*}$ was ja definitiv falsch ist.

Komm ich mit dieser Methode überhaupt ans Ziel oder sollt ich anders an die Sache gehen?!

Liebste Grüße, Lara

03.11.2014, 17:45

RavenOnJ

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RE: Injektivität zeigen
Mach doch einen Widerspruchsbeweis. Zeige zuerst, dass $\begin{align*} \operatorname{ker} \gamma \end{align*}$ nichttrivial ist, dass also mehrere Elemente auf die 0 abgebildet werden, wenn $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ nicht injektiv ist. Zeige dann, dass 0=1 folgt, was definitiv falsch ist. Daraus folgt dann, dass die Grundannahme ( $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ nicht injektiv) falsch ist.

03.11.2014, 18:01

Lara90

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RE: Injektivität zeigen
Meinst du dann trotzdem mit LGS lösen?!

Ich seh nämlich gerade, dass

$\begin{eqnarray*} x+y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x*y=0 \end{eqnarray*}$

garkein LGS ist! Also anderer Lösungsweg oder habe ich nur den falschen Ansatz gemacht beim Aufstellen?!

Lg Lara

03.11.2014, 20:13

Mulder

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RE: Injektivität zeigen
So richtig eingegangen bist du jetzt aber nicht auf das, was RavenOnJ geschrieben hat.

Zitat:

Original von RavenOnJ
Zeige zuerst, dass $\begin{align*} \operatorname{ker} \gamma \end{align*}$ nichttrivial ist, dass also mehrere Elemente auf die 0 abgebildet werden, wenn $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ nicht injektiv ist.

Kannst du ein solches Element, das von 0 verschieden ist, aber im Kern liegt, angeben? Unter der Annahme, dass die Abbildung eben nicht injektiv ist? Was bedeutet es denn, wenn eine Abbildung nicht injektiv ist? Dann stehts schon nahezu komplett da.

Dann ist es bis hierhin auch nicht mehr weit:

Zitat:

Original von RavenOnJ
Zeige dann, dass 0=1 folgt, was definitiv falsch ist.

03.11.2014, 20:47

Lara90

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RE: Injektivität zeigen
Ich weiß was ein Kern ist, jedoch ist dieser noch nicht in der Vorlesung eingeführt worden!
Eher unklug damit zu arbeiten, oder?!

Grundsatzfrage: verstehe ich die Abbildung so richtig?!

$\begin{eqnarray*} \gamma(xy) =(x+y,xy) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Was bedeutet es denn, wenn eine Abbildung nicht injektiv ist?

Dann muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ ist

Lg Lara

03.11.2014, 21:19

RavenOnJ

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RE: Injektivität zeigen

Zitat:

Original von Lara90
Ich weiß was ein Kern ist, jedoch ist dieser noch nicht in der Vorlesung eingeführt worden!
Eher unklug damit zu arbeiten, oder?!

Warum? Der Begriff fällt sowieso irgenwann, ist doch gut sich jetzt schon mal darum zu kümmern, um was es sich handelt. Abgesehen davon benötigst du den Begriff überhaupt nicht. Zeige einfach, dass (mindestens) zwei Elemente auf die 0 abgebildet werden, wenn $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ nicht injektiv ist. Dazu musst du die von dir genannten Regeln benutzen, die diese Abbildung charakterisieren.

Zitat:

Grundsatzfrage: verstehe ich die Abbildung so richtig?!

$\begin{eqnarray*} \gamma(xy) =(x+y,xy) \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt, weiß ich nicht wie du darauf kommst. Was soll auf einmal das Tupel auf der rechten Seite?

Zitat:

Was bedeutet es denn, wenn eine Abbildung nicht injektiv ist?

Dann muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ ist

"Nicht injektiv" bedeutet das Gegenteil von "injektiv". Injektiv ist eine Abbildung dann, wenn das Urbild eines beliebigen Elements der Bildmenge aus genau einem Element besteht.

03.11.2014, 22:17

Lara90

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Ok ok, ich glaube ich bin zumindest weiter gekommen meine Idee:

Annahme $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist nicht injektiv:
Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} \gamma (x) = \gamma (y) \end{eqnarray*}$

Betrachte

$\begin{eqnarray*} x+y = 0 \Rightarrow x = -y, \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} \gamma (1) folgt 1 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \gamma (x) \neq \gamma(y) \end{eqnarray*}$
Wiederspruch zur Annahme!

Injektiv?!

Hoffe ich habe euch richtig verstanden

Lg Lara

03.11.2014, 23:16

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Lara90

Annahme $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist nicht injektiv:
Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} \gamma (x) = \gamma (y) \end{eqnarray*}$

Dies ist sehr unglücklich formuliert, um es euphemistisch zu sagen. Du hättest schreiben müssen:
$\begin{align*} \exists x,y\in K:\gamma(x)=\gamma(y) \end{align*}$
d.h. es existieren dann $\begin{align*} x,y\in K \end{align*}$ , die auf das selbe Element $\begin{align*} \gamma(x)=\gamma(y)\in K' \end{align*}$ abgebildet werden. Mit $\begin{align*} x-y\not= 0 \end{align*}$ folgt $\begin{align*} \gamma(x-y)=? \end{align*}$

Den Rest deines Posts kommentiere ich besser nicht.

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