Bruchungleichung und Betrag

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ultexx Auf diesen Beitrag antworten »
Bruchungleichung und Betrag
Hey,
Ich habe ein kleines Problem mit Ungleichungen. Das Konzept von Betrags- und Bruchungleichungen habe ich im einzelnen zwar verstanden (denk ich zumindest),
doch die Mischung von beiden bringt mich gerade etwas durcheinander.

Also es geht um folgende Ungleichung:
(x²-7)/(x-3) < |x+3|

Muss ich in meine Fallunterscheidungen sowohl die linke als auch die rechte Seite miteinbeziehen, oder genügt hier die Linke?

Ich habs mal mit beiden Seiten miteinbezogen probiert und da kommt irgendwie nur Blödsinn raus.

Bei meinen ersten beiden Fällen kürzt sich das x überhaupt weg und bei den anderen habe ich eine leere Menge. Da kann aber irgendetwas nicht stimmen. Vielleicht auch nur ein blöder Rechenfehler, aber ich komm grad echt nicht darauf.

Ich hoffe jemand kann mir helfen, und bedanke mich schon mal voraus für meine Rettung Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ultexx
Bei meinen ersten beiden Fällen kürzt sich das x überhaupt weg und bei den anderen habe ich eine leere Menge. Da kann aber irgendetwas nicht stimmen.

Vermutlich stimmt an deiner Interpretation dieser Umformergebnisse (vllt. auch im Lichte der Fallbedingungen) was nicht - daher bitte Details.
 
 
ultexx Auf diesen Beitrag antworten »

ok zum ersten Fall:
als bedingung habe ich mal für den bruch x>3 und für den betrag x>-3 also die beiden Zusammen: x>3

dann habe ich denn nenner auf die andere Seite gebracht:
x²-7<x²-9 dann x² mit minus auf die andere seite und das -7 mit +7 herüber

am Schluss hatte ich dann 0<-2

Was ja eine falsche Aussage ist.
Soll ich die anderen Fälle auch noch aufzählen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ultexx
Was ja eine falsche Aussage ist.

Genau - also keine Lösungen im Fall x>3.

Zitat:
Original von ultexx
Soll ich die anderen Fälle auch noch aufzählen?

Aber unbedingt - wie sonst sollen wir dich "retten". Augenzwinkern
ultexx Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh

gut also im zweiten fall hatte für den Bruch x<3 und für den Betrag x>-3
also -3<x<3
Rechnung:
x²-7>x²-9 (das < habe ich wegen dem Bruch umgedreht, da ich ja annehme, dass er negativ ist)
0>-2

Da hab ich jetzt zwar eine wahre Aussage, weiß aber nicht was mir das sagt.

3.Fall: Bruch: x>3 und Betrag x<-3, da dass aber nicht geht habe ich hier die Leeremenge als Lösung

4.Fall: Bruch: x<3 und Betrag x<-3 also zusammen: x<-3

Rechnung: x²-7>-x²+9 (< wieder umgedreht und da ich von einem negative Wert beim Betrag ausgehe, muss ich ein Minus davor schreiben)

dann bekomme ich x>Wurzel(8) dass ist aber nicht in meinem Definitionsbereich, also habe ich wieder eine leere Lösungsmenge.


So mehr hab ich dann nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ultexx
gut also im zweiten fall hatte für den Bruch x<3 und für den Betrag x>-3
also -3<x<3
Rechnung:
x²-7>x²-9 (das < habe ich wegen dem Bruch umgedreht, da ich ja annehme, dass er negativ ist)
0>-2

Da hab ich jetzt zwar eine wahre Aussage, weiß aber nicht was mir das sagt.

Es sagt, dass alle Werte x, die die Fallbedingung erfüllen, auch Lösung sind!

D.h.: Lösungsmenge in diesem Fall ist das gesamte Intervall (-3,3).

Zitat:
Original von ultexx
3.Fall: Bruch: x>3 und Betrag x<-3, da dass aber nicht geht habe ich hier die Leeremenge als Lösung

Korrekt.

Zitat:
Original von ultexx
4.Fall: Bruch: x<3 und Betrag x<-3 also zusammen: x<-3

Rechnung: x²-7>-x²+9 (< wieder umgedreht und da ich von einem negative Wert beim Betrag ausgehe, muss ich ein Minus davor schreiben)

dann bekomme ich x>Wurzel(8)

Fehler beim Wurzelziehen: Aus folgt zunächst nur , und das beinhaltet sowohl (was hier im Fall tatsächlich irrelevant ist) aber auch , was hier im Fall sehr wohl von Bedeutung ist!!!


P.S.: Du hast den Wert x=-3 selbst vergessen: Einem der beiden Fälle 2 oder 4 solltest du den "zuschlagen", damit er nicht unter den Tisch fällt! Es ist immer eine vollständige Fallunterscheidung nötig, sonst gibt's was aufs Dach. Big Laugh
ultexx Auf diesen Beitrag antworten »

ah Big Laugh also bekomme ich hier beim Wurzelziehen ein x1=Wurzel(8) und x2=-Wurzel(8)

und mein Lösungsintervall ist dann L4=(-infinity,-Wurzel(8)) (hier ist ja der Wert -3 enthalten, also muss ich ihn nicht mehr anführen oder)
Und als gesamt Lösung Lges=(-infinity,3)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ultexx
und mein Lösungsintervall ist dann L4=(-infinity,-Wurzel(8))

Nein: Es ist , das gehört gar nicht mehr in den 4.Fall. unglücklich

Tatsächlich ist also , wenn ich mal so frei bin, die Fallbedingung von in abzuändern:

Nicht das Ergebnis der Umformungen allein bestimmt die Lösungsmenge in einem Unterfall - diese Menge muss auch immer eine Teilmenge der Definitionsmenge dieses Falles sein!

Zitat:
Original von ultexx
Und als gesamt Lösung Lges=(-infinity,3)

Das ist nun wieder richtig. Freude
ultexx Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, das hab ich jetzt übersehen.
Aber ich kann das -3 auch beim 2ten Fall auzählen wenn ich dort x<3 und x>=-3 schreibe oder?
Da fällt mir nämlich gerade auf, dass ich für die Fallunterscheidungen des Betrag bei den anderen Beispielen immer >= geschrieben habe und nur hier auf einmal "nur" >.
Dann würde das ganze auch stimmen oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Geht auch, dann hast du und .

An der Gesamt-Lösungsmenge ändert das natürlich nichts - wäre ja auch noch schöner, wenn die von Lösungsweg zu Lösungsweg variieren würde. Big Laugh
ultexx Auf diesen Beitrag antworten »

Gut gut Big Laugh D

Danke vielmals für die Hilfe, jetzt weiß ich, dass ich mich von augenscheinlich komischen Lösungen nicht immer gleich abbringen lassen darf (:
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