Beweis - Median ist nichtlinearer Operator

04.11.2014, 16:44

tbol.inq

Beweis - Median ist nichtlinearer Operator

Meine Frage:
Hallo,

Meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass der Median-Operator nichtlinear ist bzw. das Ermitteln des Medians von n-Werten eine nichtlineare Operation ist, wobei n eine ungerade Anzahl von Zahlen ist..

Meine Ideen:
Ich denke mir, dass beim Berechnen des Medians von n Zahlen (n ist ungerade), ein Wert trotzdem mehrfach vorkommen kann, denn z.B.:

Median von (1,2,3,4,5) ist 3
Median von (1,3,5) ist 3

Es ist also, laut Linearität, nicht immer zu einem Eingabewert ein veränderter Ausgabewert vorhanden.
Nur wie zeige ich dies?

EDIT:

Wenn zu einem gegebenen n1 (zb 3) ein anderes n2 (zb 5) gefunden werden kann, so dass bei Anwendung des Median-Operators über zwei Zahlenreihen ein identischer Wert gefunden werden kann, so ist das doch ein Widerspruch der Linearität, oder?

genauer gesagt:

wenn Median von (1,2,3,4,5) != Median von (1,3,5) einen Widerspruch darstellt ist die Nicht-Linearität doch bewiesen, oder?

04.11.2014, 17:01

HAL 9000

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Mit "Linearität" meinst du hier linear bzgl. jedes einzelnen Stichprobenwertes $\begin{align*} x_i \end{align*}$ , wie es etwa der Mittelwert-Operator $\begin{align*} \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \end{align*}$ ist?

Um zu zeigen, dass der Medianoperator nicht linear ist, genügt doch die Angabe eines Gegenbeispiels, etwa für $\begin{align*} n=3 \end{align*}$ :

Nehmen wir deine letzte Stichprobe, aber lassen den dritten Wert variabel: $\begin{align*} (1,3,t) \end{align*}$ .

Dann gilt für den Median der drei Werte, als Funktion von $\begin{align*} t \end{align*}$ :

$\begin{align*} \tilde{x}(t) = \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\, t\leq 1 \\ t &\;\mbox{für}\, 1<t<3 \\ 3 &\;\mbox{für}\, t\geq 3 \end{cases} \end{align*}$ .

Eine lineare Funktion ist das sicher nicht. Augenzwinkern

04.11.2014, 17:11

tbol.inq

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mit "Linearität" meinst du hier linear bzgl. jedes einzelnen Stichprobenwertes $\begin{align*} x_i \end{align*}$ , wie es etwa der Mittelwert-Operator $\begin{align*} \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \end{align*}$ ist?

Genau, das meinte ich.

Zitat:

Original von HAL 9000
Um zu zeigen, dass der Medianoperator nicht linear ist, genügt doch die Angabe eines Gegenbeispiels, etwa für $\begin{align*} n=3 \end{align*}$ :

Nehmen wir deine letzte Stichprobe, aber lassen den dritten Wert variabel: $\begin{align*} (1,3,t) \end{align*}$ .

Dann gilt für den Median der drei Werte, als Funktion von $\begin{align*} t \end{align*}$ :

$\begin{align*} \tilde{x}(t) = \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\, t\leq 1 \\ t &\;\mbox{für}\, 1<t<3 \\ 3 &\;\mbox{für}\, t\geq 3 \end{cases} \end{align*}$ .

Eine lineare Funktion ist das sicher nicht. Augenzwinkern

kannst du mir das vielleicht nochmal erklären?

04.11.2014, 17:15

HAL 9000

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Du siehst, dass ich für t drei Fälle betrachte. Versuch doch mal selbst nachzuvollziehen, warum sich in diesen Fällen dann jeweils der angegeben Wert als Median ergibt.

04.11.2014, 17:20

tbol.inq

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du siehst, dass ich für t drei Fälle betrachte. Versuch doch mal selbst nachzuvollziehen, warum sich in diesen Fällen dann jeweils der angegeben Wert als Median ergibt.

Das habe ich gerade:

Der Median wird:
1, wenn t kleinergleich 1 ist
t, wenn t zwischen 1 und 3 liegt
3 für t größergleich 3

Das leuchtet mir ein. Habe ich damit schon bewiesen, dass es keine lineare Operation ist?

04.11.2014, 17:27

HAL 9000

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Na ist das eine lineare Funktion in t, oder ist das keine?