Menge der Einheiten kommutativ Beweis

05.11.2014, 11:27	dac	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge der Einheiten kommutativ Beweis Meine Frage: Hallo! Ich hab Z/8Z gegeben und soll beweisen, dass die Menge der Einheiten E(Z/8Z)={[1] [3] [5] [7]} mit der Multiplikation eine kommutative Gruppe bildet. Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das angehen soll. Kommutativität und Assoziativität kann ich ja an sich durch durchprobieren beweisen (das ist aber nicht sehr elegant... Gibt's da eine bessere Methode?) beim inversen und neutralen Element häng ich jetzt aber fest. Meine Ideen: Wenn ich mir das ganze aufschreib müsste es doch in etwa so aussehen: * 1 3 5 7 1 1 3 5 7 3 3 1 7 5 5 5 7 1 3 7 7 5 3 1 So, irgendwo hab ich mal gelesen, dass die Existenz des neutralen Elementes dadurch bewiesen ist, dass es je eine Spalte und eine Zeile gibt die gleich der Zeilen/Spaltenüberschrift ist. Macht ja auch Sinn, da xe=x sein soll. Also wäre dann doch [1]=e oder? Das wirkt für mich aber eher nach einem Trick als nach einer wirklichen Beweisstrategie, kann ich das irgendwie aufschreiben? Ausserdem weiss ich dass das inverse bzgl der multiplikation x^-1 sein soll, also xx^-1=e, aber wie finde ich denn die Inversen Elemente? Indem ich in der Verknüpfungstabelle jene Einträge suche die 1 ergeben? Dann ist doch jede Restklasse ihr eigenes Inverses, oder? Aber gilt das dann auch als Beweis oder kann ich das irgendwie ordentlich formalisieren? Danke schon mal im Voraus
05.11.2014, 12:02	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Einheiten kommutativ Beweis Die Einheitengruppe ist schon deshalb kommutativ, weil die Multiplikation in $\begin{align} \mathbb Z/8\mathbb Z \end{align}$ kommutativ ist. Es fehlt also nur noch zu zeigen, dass es sich wirklich um eine Gruppe handelt.
05.11.2014, 12:12	dac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Einheiten kommutativ Beweis Na gut, dann ist die Kommutativität bewiesen. Damit muss ich doch noch zeigen, dass die Multiplikation assoziativ ist (durch durchprobieren?), dass es ein neutrales Element gibt (durch die der Überschrift entsprechenden spalten/zeilen der Verknüpfungstabelle?) und auch ein inverses Element für alle elemente existiert (da jedes Element multipliziert mit sich selbst 1 (also das neutrale) ergibt müsste jedes element doch zu sich selbst invers sein, oder).
05.11.2014, 14:00	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Einheiten kommutativ Beweis Nein, die Assoziativität ist auch schon gegeben, da die Multiplikation in $\begin{align} \mathbb Z/8\mathbb Z \end{align}$ assoziativ ist. Das neutrale Element ist offensichtlich die $\begin{align} \overline{1} \end{align}$ , aber du kannst das natürlich auch noch beweisen. Jedes Element ist zu sich selbst invers, womit du die Existenz der inversen Elemente gezeigt hast. Du musst nur noch zeigen, dass mit $\begin{align} a,b\in\mathbb Z/8\mathbb Z^ \end{align}$ auch $\begin{align} c:=ab\in\mathbb Z/8\mathbb Z^* \end{align*}$ . Am besten nicht händisch, sondern anhand des Kriteriums, wann Elemente zur Einheitengruppe gehören. Ich nehme an, dass dir das bekannt ist.
05.11.2014, 14:22	dac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Einheiten kommutativ Beweis Vielen Dank! Das Kriterium ist doch, dass [a][b]=1
05.11.2014, 15:30	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Einheiten kommutativ Beweis So wie du das geschrieben hast, ist es unvollständig. Wenn du geschrieben hättest: $\begin{align} \exists b:[a][b]=[1]\Rightarrow [a]\in \mathbb Z/8\mathbb Z^ \end{align}$ , dann wäre das ein Kriterium. Dass von einer Teilmenge zu jedem Element auch sein Inverses zu dieser Teilmenge gehört, ist noch nicht ausreichend, um die Gruppenstruktur zu zeigen. Das kannst du schon daran sehen, dass auch die Teilmenge $\begin{align} \{[1],[3],[5]\} \end{align}$ dieses Kriterium efüllt, obwohl dies keine Gruppe ist. Ich hatte was anderes gemeint. Kennst du nicht den Satz: Ein Element [a] eines Restklassenrings $\begin{align} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{align}$ gehört genau dann zur Einheitengruppe, wenn ggT(a,n)=1. (Daraus folgt auch, dass [a] kein Nullteiler sein darf.) Zeige also, dass mit ggT(a,8)=1 und ggT(b,8)=1 auch ggT(ab,8)=1. Damit hättest du gezeigt, dass gilt $\begin{align} [a],[b]\in \mathbb Z/8\mathbb Z^\Rightarrow [a]\cdot[b]=[ab]\in \mathbb Z/8\mathbb Z^ \end{align*}$ Mit der schon gezeigten Existenz eines jeweils inversen Elements hättest du dann die Gruppenstruktur gezeigt, da in der von dir angegebenen Menge alle mit 8 teilerfremden Elemente enthalten sind.
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05.11.2014, 19:25	dac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Einheiten kommutativ Beweis Hui, großes Dankeschön für die ausführliche Erklärung! Den Satz kannte ich zwar noch nicht, aber inzwischen macht das ganze Sinn, alao vielen Dank!

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