minimalpolynom einer Linearen Abbildung

07.11.2014, 19:46

EliStraw

minimalpolynom einer Linearen Abbildung

Meine Frage:
Hallo, die Aufgabenstellung ist wie folgt:

Seien dimK V = 3, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ HomK(V,V) und f = x^2 + 1

a) Zeigen Sie: ist K = $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ so ist minpol $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ f.

b) Gilt a) auch dann, wenn der Körper K beliebig gewählt ist? Begründen Sie die Antwort!

Meine Ideen:
a) Ich bin mir sehr sicher, dass es nicht das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sein kann, da es keine Nullstelle in K hat?
Leider bin ich mir noch nicht sicher was alles aus der definition von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ folgt. Was hat zum Beispiel die Dimension des K-Vetorraums damit zu tun? ist ja sicherlich notwendig dass sie 3 ist damit a gilt?
Würde mich sehr über Denkanstöße und Informationen über Minimalpolynom und Lineare Abbildung freuen.

b) ich würde mal annehmen dass in dem Körper C der komplexen Zahlen f schon als Minimalpolynom in Frage kommt?

Ich freue mich über jeden Denkanstoß!

07.11.2014, 22:10

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RE: minimalpolynom einer Linearen Abbildung
Über die Nullstelle zu argumentieren finde ich gut. Du könntest noch das charakteristische Polynom ins Spiel bringen. Für b) würde ich einfach eine passende komplexe 3x3-Matrix angeben.

07.11.2014, 22:37

EliStraw

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RE: minimalpolynom einer Linearen Abbildung

Zitat:

Original von URL
Du könntest noch das charakteristische Polynom ins Spiel bringen..

Du meinst dass man zeigen kann dass f kein irreduzibler konstituent vom chapol von alpha sein kann, bzw das chapol nicht teilt. Oder dass es nicht alle irreduziblen Konstituenten die paarweise verschieden sind enthält?

Kann man vielleicht aus der Dimension des Vektorraums, argumentieren bezüglich des Grades des chapl's ?

(chapol := charakteristisches Polynom)

07.11.2014, 22:47

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RE: minimalpolynom einer Linearen Abbildung
Warum bleibst du nicht einfach bei den Nullstellen?? Was weißt du über Nullsten von Minimal- und charakteristischem Polynom?
Und ja, da wird der Grad des charakteristischen Polynoms eine Rolle spielen.

08.11.2014, 16:12

EliStraw

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RE: minimalpolynom einer Linearen Abbildung
viel weiß ich leider nicht über die Nullstellen, eigentlich sogar gar nichts =/

aber bezüglich des Grades vom charpol, kann man den direkt ablesen an der dimension des gewählten Vektorraums?

die Darstellungsmatrix von alpha wäre ja eine 3x3 Matrix.
heißt das dann dass der Grad des charpol's 3 ist?

ich werde mir wohl gleich nochmal alle Sätze darüber ansehen müssen, aber ich meine nichts diesbezügliches gelesen zu haben=/

aber wenn der Grad des charpol's > 2 ist, kann f ja direkt als minimalpolynom ausgeschlossen werden da dann wohl noch ein von f verschiedener irreduz. polynom im Charpol steckt den das minimalpolynom enthalten muss?

08.11.2014, 16:46

EliStraw

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RE: minimalpolynom einer Linearen Abbildung
moment, ich weiß dass alpha genau dann diagonalisierbar ist wenn das minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

was hier bei f der Fall ist.
nehme ich also an dass f das Minimalpolynom ist, muss alpha diagonalisierbar sein.
Die diagonalmatrix besteht aber aus den Nullstellen des charpols, da wir für f aber keine nullstelle finden und f auch im charpol enthalten sein muss, kann alpha nicht diagonalisierbar sein? also hätten wir an der Stelle einen widerspruch, falls das so weit sinn macht.

mit C als körper würde das Argument dann nicht mehr gelten weil dir da für f gerade 2 Nullstellen finden, da f aber wider nur aus paarweise verschiedenen irreduziblen linearfaktoren besteht, muss alpha wieder diaginalisierbar sein.
diesmal haben wir 2 nullstellen durch f, eine fehlt also noch für die Diagonalmatrix, welche dann im charpol versteckt sein muss, daraus folgt aber dass gerade noch ein linearfaktor vorhanden sein muss mit nur einer nullstelle, welcher aber dann auch im minpol enthaltn sein muss, folglich ist dann auch mit Körper C f nicht das minimalpolynom?

ist gerade der beste lösungsansatz der mir einfällt..

08.11.2014, 17:44

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RE: minimalpolynom einer Linearen Abbildung

Zitat:

Original von EliStraw
aber wenn der Grad des charpol's > 2 ist, kann f ja direkt als minimalpolynom ausgeschlossen werden da dann wohl noch ein von f verschiedener irreduz. polynom im Charpol steckt den das minimalpolynom enthalten muss?

Warum sollte das immer so sein?

Inzwischen solltest du wisssen, dass Minimal- und charakteristisches Polynom die gleichen Nullstellen haben.
Der Grad des charakteristischen Polynoms ist in der Tat drei. Und jetzt muss man nur noch eine Kleinigkeit über reelle Polynome von ungeradem Grad wissen.

Zitat:

moment, ich weiß dass alpha genau dann diagonalisierbar ist wenn das minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

was hier bei f der Fall ist.

Aber eben nicht über den reellen Zahlen

09.11.2014, 12:38

EliStraw

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RE: minimalpolynom einer Linearen Abbildung
schuldigung, in meinem Kopf geht es ziemlich chaotisch zu..

also: in R hat f keine Nullstelle und zerfällt somit nicht in Linearfaktoren.
Das Charpol := g hat aber den Grad 3. angenommen f teilt g, das ist ja erst mal schön und gut. Jedoch folgt dann daraus dass g einen Linearfaktor enthalten muss, den f nicht mit sich führt, da es nicht in Linearfaktoren zerfällt. Da f aber alle irreduziblen konsituenten von g enthalten muss um das Minimalpolynom zu sein, kann f nicht das minimalpolynom von alpha sein. richtig soweit verwirrt

in anderen Worten, g und f müssen die selben Nullstellen haben, dies ist hier aber nicht erfüllbar)

zum 2. Teil: gehen wir vom Körper C aus, hat f gerade 2 Nullstellen also zerfält es in 2 Linearfaktoren (x-i)(x+i).
daraus folgt dass es ein charakteristisches polynom geben kann dass grad 3 hat, und die selben Nullstellen wie f besitzt, also kann f ein minimalpolynom sein.

ist das so weit richtig?

Und wieso ist der Grad von g gerade 3? ist der Grad des charakeristischen Polynoms einer nxn Matrix immer n?

09.11.2014, 13:23

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RE: minimalpolynom einer Linearen Abbildung
Ist $\begin{eqnarray*} \alpha \in \end{eqnarray*}$ HomK(V,V) und $\begin{eqnarray*} \dim V = n \end{eqnarray*}$ , dann ist der Grad des charakteristischen Polynoms von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

Hier ist also $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ und jetzt könnte man einfach sagen, dass ein reelles Polynom mit ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle hat. Das angegebene Polynom f hat das nicht, kann also nicht das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sein.
Deine Argumentation über die irreduziblen Faktoren ist auch richtig.

zum zweiten Teil: Mir wäre die Begründung zu dünn, aber das ist wohl Geschmacksfrage.
Du könntest zur Übung eine passende komplexe 3x3-Matrix angeben.

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