Turm zu Babel: Reihenbsp.

08.11.2014, 09:33

winki2008

Turm zu Babel: Reihenbsp.

Hallo, ein weiteres praktisches Beispiel zu Reihen, stimmt das so?

Also insgesamt sind es (n+1) Würfeln

a)Höhe:

$\begin{eqnarray*} s_{n}= \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ ...Reihe divergiert

b) Farbanstrich (ohne Dachfläche)

$\begin{eqnarray*} s_{n}=4 \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^2} \cdot \frac{1}{1000} \leq 4 \cdot 1,645 \cdot \frac{1}{1000} m³=6,58 Liter \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} s_{n}= \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^3} \cdot 2000 \leq 1,202 \cdot 2000 kg=2404,4 kg \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen?
Danke

[attach]35982[/attach]

11.11.2014, 00:01

EM-Algo

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Hallo,

deine Ergebnisse sind richtig. Du berechnest sozusagen die Obergrenzen für b) und c).

Bei b) könnte man noch bemerken, dass du nur die Seitenflächen der Würfel streichst ohne die Oberseiten zu streichen. Diese zu berücksichtigen wäre aber sehr einfach, da die Gesamtoberseitenfläche konstant bleibt für jede Höhe des Turms.

LG

11.11.2014, 09:41

HAL 9000

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In b) versteckt sich eine böse Falle:

Bei Seitenlänge $\begin{align*} a \end{align*}$ hat der Würfel eine Mantelfläche (d.h. ohne Ober- und Unterseite) von $\begin{align*} 4a^2 \end{align*}$ . Eine Farbschicht der Dicke $\begin{align*} d \end{align*}$ hat dann im Fall $\begin{align*} a\gg d \end{align*}$ das Volumen $\begin{align*} V_F\approx 4a^2d \end{align*}$ .

Was ist nun aber, wenn die Annahme $\begin{align*} a\gg d \end{align*}$ höchst zweifelhaft ist, etwa "weit" oben im Turm? Dort wäre dann eher (Differenz des Querschnittquadrates mit und ohne Farbschicht)

$\begin{align*} V_F = a\cdot \left((a+2d)^2-a^2\right) = 4ad(a+d) \end{align*}$

zu rechnen. Was im Fall unseres Babelturms drastische Auswirkungen hat: Plötzlich braucht man unendlich viel Farbe. Big Laugh

EDIT: Man kann noch einwenden, dass man nach dem Anstreichen eher "runde" Ecken hat als wie in meiner Rechnung eben wieder "eckige". Ändert letztlich aber auch nichts an der Aussage, dass man unendlich viel Farbe benötigt:

$\begin{align*} V_F = ad(4a+\pi d) \end{align*}$

11.11.2014, 17:12

EM-Algo

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Das versteh ich leider nicht.

Der 1.000.000.000ste Würfel hat die Kantenlänge 1nm. Wieso ist das Volumen dann nicht

$\begin{eqnarray*} V1=4(1nm \cdot 1nm \cdot 1mm) = 4.000.000nm³ \end{eqnarray*}$ sondern
$\begin{eqnarray*} V2=4 \cdot 1nm \cdot 1mm(1nm + 1mm) = 4.000.004.000.000nm³=4.000,004 \mu m³ \end{eqnarray*}$ ?

Die Farbschicht ist doch eigentlich ein ganz normaler Quader oder nicht?

LG

11.11.2014, 17:35

HAL 9000

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Wenn dir die Rechnung nicht genügt, lassen wir Bilder sprechen - die Draufsicht auf einen der kleinen grauen Betonwürfel:

[attach]36043[/attach]

Du berechnest als Lackschicht nur die roten Anteile - ich zusätzlich auch noch die weißen in den Ecken - man will ja eine Rundum-Lackierung, nicht mit häßlichen Fehlstellen an den Ecken. Augenzwinkern

Im Bild ist jetzt die Variante $\begin{align*} V_F = ad(4a+\pi d) \end{align*}$ mit den abgerundeten Ecken zu sehen.

a) Im makroskopischen Maßstab (große Würfel) sind die weißen Anteile vernachlässigbar.

b) Im Bild sehen wir gerade die Übergangsphase mit vergleichbar großen Anteilen rot/weiß.

c) Im mikroskopischen Maßstab (kleine Würfel oben im Turm, so wie in deinem nm-Beispiel) sind dann hingegen die roten Anteile vernachlässigbar, trotz verschwindender grauer und roter Fläche verbleibt die konstante weiße Querschnittsfläche von $\begin{align*} \pi d^2 \end{align*}$ . Augenzwinkern

11.11.2014, 17:53

EM-Algo

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Das Volumen eines roten Quader berechne ich über Länge mal Breite mal Höhe. Damit wäre die Mantel Fläche immer noch nur $\begin{eqnarray*} 4a²d \end{eqnarray*}$ (ohne Rundungen).

Die Ecken noch zu berücksichtigen halte ich zu übertrieben für diese Aufgabe. Wenn du realistisch sein willst darfst du auch keine Würfel mehr berücksichtigen, die eine Kantenlänge kleiner als die Plancklänge haben. Damit wäre der Farbbedarf wieder endlich... Beide Probleme gehören aber m.E. nicht mehr zur Aufgabe. Ich glaube eher, dass es darum geht Grenzwerte von Reihen zu bestimmen, so wie es Winki tat.

$\begin{eqnarray*} 4ad(a+d) \end{eqnarray*}$ kann ich aber immer noch nicht nachvollziehen.
Länge der roten Fläche ist d. Breite wäre a. Die Höhe wäre auch a oder nicht? Das a+d ist mir völlig unklar.

LG

11.11.2014, 18:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von EM-Algo
$\begin{eqnarray*} 4ad(a+d) \end{eqnarray*}$ kann ich aber immer noch nicht nachvollziehen.

Dafür, dass du es vehement bekämpfst, interessierst du dich aber sehr dafür. Big Laugh

Eigentlich hatte ich oben alles dazu aufgeschrieben - LESEN: Forum Kloppe

Zitat:

Original von HAL 9000
Dort wäre dann eher (Differenz des Querschnittquadrates mit und ohne Farbschicht)

$\begin{align*} V_F = a\cdot \left((a+2d)^2-a^2\right) = 4ad(a+d) \end{align*}$

Das graue Quadrat der Seitenlänge $\begin{align*} a \end{align*}$ wird durch ein größeres Quadrat der Seitenlänge $\begin{align*} a+2d \end{align*}$ umrandet, d.h. "plus Lackschicht" aber mit echten statt runden Ecken. Nun, und da ist der Flächenquerschnitt der Lackierung

$\begin{align*} (a+2d)^2 - a^2 = 4ad+ 4d^2 = 4d(a+d) \end{align*}$

und das ganze dann noch multipliziert mit der Höhe $\begin{align*} a \end{align*}$ gibt das Volumen der Lackummantelung (Lack oben fehlt, wie bei dir).

Zitat:

Original von EM-Algo
Die Ecken noch zu berücksichtigen halte ich zu übertrieben für diese Aufgabe. Wenn du realistisch sein willst darfst du auch keine Würfel mehr berücksichtigen, die eine Kantenlänge kleiner als die Plancklänge haben. Damit wäre der Farbbedarf wieder endlich... Beide Probleme gehören aber m.E. nicht mehr zur Aufgabe. Ich glaube eher, dass es darum geht Grenzwerte von Reihen zu bestimmen, so wie es Winki tat.

Vielleicht war dies die Absicht des Aufgabenstellers, aber richtig durchdacht hat er das eben nicht mit der bloßen Angabe "1mm Lackschicht". Und was ist verkehrt daran, bei einem als Sachaufgabe formulierten Problem einen Realismus zu zeigen, der auch nicht schwerer in der Berechnung ist als bewusst unrealistisch vorzugehen: Ich würde mich jedenfalls über einen Gegenstand, bei dem die Kanten und Ecken derart schlampig lackiert sind, dass das Untergrundmaterial durchscheint, ziemlich ärgern. smile

P.S.: Im übrigen entspricht mein Modell (das mit den abgerundeten Ecken) dem Verfahren:

angestrichener Körper = Originalkörper, unterworfen einer Dilatation mit einer Kugel vom Radius $\begin{align*} d \end{align*}$

Das in erster Näherung sinnvollste Modell eines solchen Körperanstrichs, das ich mir vorstellen kann.

11.11.2014, 20:34

EM-Algo

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Ich habe es nicht bekämpft, sondern nicht verstanden und ich interessiere mich sehr für alternative Lösungen (meistens kann ich da etwas lernen wie jetzt auch wieder).

Selbstverständlich ist nichts daran verkehrt eine Aufgabe zu durchdenken und sich den Anspruch zu setzen diese so realistisch wie möglich zu lösen. Die Frage ist nur wie weit man das treiben möchte. Wie gesagt, die Würfel können einfach auch nicht unendlich klein hergestellt werden von daher ist die Aufgabe eh hypothetisch und die Turmhöhe sowie der Farb- und Betonbedarf definitiv endlich Big Laugh

.

Von daher hast du recht mit den Kanten, dennoch würde ich immer noch die Aufgabe wie Winki lösen Augenzwinkern

Ich finde deiner Lösung dennoch sehr interessant.

LG

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