Untervektorraum nachprüfen

08.11.2014, 11:15

Schattenklinge

Untervektorraum nachprüfen

Hi Matheboard,

ich bin mir absolut nicht sicher bei dieser Aufgabe:

[attach]35984[/attach]

Ich muss doch hier jetzt die 3 Axiome nachprüfen, spricht U ist nicht leer, Abgeschlossen bzgl. Add, Abgeschlossen bzgl. Mult.

Aber was muss ich hier jetzt genau rechnen bei Abgeschlossen bzgl Add um das nachzuweisen?
Sei v,w in U, dann muss gelten: v+w ist auch in U. v+w ist $\begin{eqnarray*} {v_1 + w_1, v_2 + w_2, v_3 + w_3} \in \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ sein.

Wie gehts weiter?

08.11.2014, 11:22

bijektion

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Zitat:

Sei v,w in U, dann muss gelten: v+w ist auch in U. v+w ist $\begin{eqnarray*} {v_1 + w_1, v_2 + w_2, v_3 + w_3} \in \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ sein.

Fast, es muss $\begin{eqnarray*} v+w=(v_1 + w_1, v_2 + w_2, v_3 + w_3)\in U\subset \mathbb{F}_5^3 \end{eqnarray*}$ sein.
Jetzt musst du prüfen, ob $\begin{eqnarray*} v+w \end{eqnarray*}$ die Anforderungen erfüllt, d.h. ob etwa $\begin{eqnarray*} v_1+w_1=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Wie gehts weiter?

Jetzt sei $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v\in U \end{eqnarray*}$ . Ist dann $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot v\in U \end{eqnarray*}$ ?

08.11.2014, 17:40

Schattenklinge

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Wieso muss es = 0 sein?

Genau das fehlt mir ja um die Aufgabe zu bearbeiten.
Dasselbe auch hier:

[attach]35988[/attach]

Da wo eine Gleichung auftritt, ja klar, da weiß ich was zu tun ist, aber wo keine Gleichung auftritt, was ist da generell zu tun?

09.11.2014, 10:38

bijektion

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Zitat:

Wieso muss es = 0 sein?

Weil alle $\begin{eqnarray*} u=(u_1,u_2,u_3)\in U \end{eqnarray*}$ die Anforderung $\begin{eqnarray*} u_1=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen müssen. Sonst sind sie doch gar nicht in der Menge.

Zitat:

Genau das fehlt mir ja um die Aufgabe zu bearbeiten. Dasselbe auch hier:

Das ist doch besonders einfach. Alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ haben die Eigenschaft, das sie Vielfache von $\begin{eqnarray*} (-6,6,-2) \end{eqnarray*}$ sind, insb. ist damit $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\left\{(-6,6,-2)\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Da wo eine Gleichung auftritt, ja klar, da weiß ich was zu tun ist, aber wo keine Gleichung auftritt, was ist da generell zu tun?

Hier treten doch überall Forderungen an die Elemente aus dem jeweiligen UVR auf, die musst du einfach peu à peu überprüfen.

09.11.2014, 11:52

Schattenklinge

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Gut, also muss ich in der ersten Aufgabe nur überprüfen ob v1+w1 = 0 ist? Da fehlt doch noch etwas?

Den Begriff der Basis hatten wir noch nicht, aber eigentlich ist das ja logisch, dass alle vielfachen von dem Vektor in der Menge drin sein muss. Nur wie schreibe ich es formal auf?

V ist erstmal nicht leer.
Wie schreibe ich den Rest formal auf?

09.11.2014, 12:28

bijektion

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Zitat:

Gut, also muss ich in der ersten Aufgabe nur überprüfen ob v1+w1 = 0 ist? Da fehlt doch noch etwas?

Nein, natürlich fehlt da noch was. Es gibt 3 Forderungen:

$\begin{eqnarray*} v_1+w_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(v_2+w_2)=v_3+w_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(v_3+w_3)=v_2+w_2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nur wie schreibe ich es formal auf?

Du hast die UVR-Kriterien, also $\begin{eqnarray*} V\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ (insb. kannst du hier immer sofort prüfen ob $\begin{eqnarray*} 0\in V \end{eqnarray*}$ ), jetzt nimmst du $\begin{eqnarray*} \lambda,\nu\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und betrachtest die Vektoren $\begin{eqnarray*} v=\lambda\cdot (-6,6,-2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=\nu\cdot (-6,6,-2) \end{eqnarray*}$ . Offenbar ist $\begin{eqnarray*} v,w\in V \end{eqnarray*}$ und jetzt überprüfst du ob es $\begin{eqnarray*} \varrho\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} \varrho \cdot (-6,6,-2) = v+w \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \sigma\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sigma \cdot (-6,6,-2) = \psi \cdot v \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \psi\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

09.11.2014, 13:06

Schattenklinge

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Da ich mich im F5 körper befinde, stimmt
1. $\begin{eqnarray*} 2(v_2+w_2)=v_3+w_3 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} 2(v_3+w_3)=v_2+w_2 \end{eqnarray*}$ nicht oder?

$\begin{eqnarray*} 2(2(v_3+w_3))=v_3+w_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4(v_3+w_3) \neq v_3+w_3 \end{eqnarray*}$

11.11.2014, 14:40

Schattenklinge

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Kann mir jemand dazu noch Hilfestellung geben?

Ich habe jetzt herausgefunden, dass $\begin{eqnarray*} 2(v_3+w_3)=v_2+w_2 \end{eqnarray*}$ natürlich geht, wie zeige ich das aber? Kann mir das jemand bitte mal für die eine Aufgabe vorrechnen?

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