Differenzenquotient

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Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzenquotient
Meine Frage:
Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:
Wir sollen f'(x) für f(x)=x^2+x berechnen.
Ich weiß nur leider gar nicht was ich jetzt machen muss.
Es wäre sehr nett wenn mir einer den Rechenweg zum Ergebnis erklärt.
Das wäre sehr nett von euch.Danke!!

Meine Ideen:

Ich weiß leider gar nicht wie anfangen soll
Ich kenne nur die Ableitungsfunktion von f(x) =x^2 lautet f'(x)=2x
Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir helft.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst es also mit dem Differenzenquotienten lösen und hast nicht die Ableitungsregel



zur Verfügung?

Dann schreibe den Differenzenquotienten doch einmal auf.
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Der differzenquotient lautet so f(x0+h)-f(x0) geteilt durch h

Aber mein Problem ist wie ich von dieser Funktion f(x)=x^2 +x in f'(x) umwandeln kann
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Limes nicht vergessen. Der ist wichtig.



Was bedeutet denn eigentlich f(x+h)?
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid ich weiß nicht was das bedeutet.Unser Mathelehrer hat das uns fast gar nicht erklärt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet denn

f(1) zum Beispiel?
 
 
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist der Anstieg an einem Punkt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, f'(1) würde die Steigung für x=1 angeben.

Ich will gerade nur auf die Rechnung hinaus. Wie berechnest du f(1) formuliere es am besten einmal sprachlich und nicht als Gleichung mit Zahlen.
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Man setzt für x eine 1 ein und berechnet dann die gleichung
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also man setzt für x die 1 ein und berechnet dann den Funktionswert. Genau.

So nun haben wir f(x+h). Was setzen wir jetzt für x ein?
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine 0 ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum?
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Hä aber ich habe doch gar keinen Wert den ich einsetzen kann oder?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch eigentlich schon, es ist nur anders als sonst, weil du es wahrscheinlich nur mit "normalen" Zahlen gewohnt bist, aber auch bei

f(x+h) geht es genau so wie bei f(1), f(-1), f(y) oder f(ldkjfsjgoih)

Ich wollte für dich das Problem auf ein "optisches" zurückführen.

Nochmal:

f(1) bedeutet, dass wir für jedes x in der Funktionsgleichung eine 1 einsetzen.

Was setzen wir für x ein wenn wir f(x+h) bestimmen wollen?
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir lassen x unbekannt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja...



Jetzt wo du es siehst, ist dir klar was hier passiert und warum es gerade so sein soll?
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja soweit habe ich das jetzt verstanden.Aber ich weiß noch nicht so richtig was h darstellt
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habe es mir nochmal angeguckt habe es jetzt verstanden
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Diesen Differenzenquotienten zu erklären ist ein wenig schwer. Das passiert am besten graphisch. Da gibt es tolle Animationen, was da überhaupt passiert.

Siehe einmal hier:

http://www.brinkmann-du.de/mathe/rbtest/...renz/index.html
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke.Ich habe nur noch eine Frage nachdem ich dann den Schritt eben gemacht habe wie geht es dann weiter
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist das h im Nenner. Das wollen wir wegbekommen.
Du kannst jetzt sehr viel vereinfachen. Rechne im Zähler aus. Dann kannst du auch das h im Nenner entfernen und den Grenzübergang durchführen.
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eine Idee man könnte doch das h nacher ausklammern und dann wegkürzen ödere?
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

*oder
_Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

"Der differzenquotient lautet so [...]"
"Aber mein Problem ist wie ich von dieser Funktion f(x)=x^2 +x in f'(x) umwandeln kann"
Nun ja, mit dem Limes von eben diesem Differenzenquotienen.
Der Differentialquotient (in Abhängigkeit von f), nennen wir ihn D, ist auch eine Funktion.
D ist also ein schwarzer Kasten. Du packst oben eine Funktion hinein
und unten kommt dann die Ableitungsfunktion hinaus.
Du musst die Funktion f lediglich in D(f) "einsetzen", so wie du
x in f(x) einsetzt. Dann rechnest du aus, was raus kommt.

Hier mal ein Beispiel. Sei .
Wenn g eine Funktion ist, und man g(x) bilden kann und D(g) auch eine
Funktion ist, so kann man auch D(g)(x) bilden.
Die Funktion g wird nun Formal auf x+h appliziert. Dazu setzt man
das x im Funktionsterm ersteinmal in Klammern (IMMER). Man schreibt
also . Jetzt setzt man x+h für x ein. Man erhält also
. Man rechnet nun







"Man setzt für x eine 1 ein und berechnet dann die gleichung"
Hm? Wie berechnet man denn eine Gleichung? Man kann von einer Funktion
an einer bestimmten Stelle den Funktionswert berechnen. Aber wie
berechnet man eine Gleichung?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, darauf läuft es hinaus.
_Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur:
g(x+h) = 4(x+h)
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich berechne die Aufgabe jetzt mal und schreibe hier die Lösung rein
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schaffe es immer noch nicht unglücklich
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zeig mal deine Rechnung. Für den Anfang reicht es wenn du nur den Zähler notierst, denke ich.
_Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch für h eine ganz kleine Zahl einsetzen, z.B. 0.001.
Dieser Differenzenquotient approximiert dann den Differentialquotient
ganz gut, auch wenn er noch nicht vereinfacht ist.
Dieser Differenzenquotient somit prinzipiell schon "fertig" und man kann
für x eine Zahl einsetzen (und somit den Anstieg an der Stelle x ausrechnen).
Es ist aber trotzdem noch möglich, ihn weiter zu vereinfachen.
Durch 0.001 kann man dabei konkret teilen.
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

f(x)=x^2+x
f(x+h)-f(x)+(x+h) geteilt durch h
f(x+h)^2-x^2+(x+h)geteilt durch h

Stimmt das bis jetzt?
_Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du hast formale Fehler gemacht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Eher nicht.

Das was du mit f(x+h) machst ist falsch. Dazu hatte ich ja weiter oben einmal hingeschrieben was "da rauskommt".
Du machst das irgendwie nur halb...
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss der Anfang so aussehen:
f(x+h)=(x+h)^2+(x+h)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

So setzt du jedenfalls das f(x+h) um, richtig.
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss das am Ende nicht -(x+h) heißen statt +. ?
_Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, pass auf.
Der Dividend lautet .
Jetzt setzt du in den Dividend ein.
Vorher setzt du das f in Klammern, schreibst also (f) anstelle von f (weil
du vorher IMMER die Klammern setzen musst). Damit ergibt sich
.
Jetzt wird der Funktionsterm auf das Argument appliziert,
es ergibt sich (vor der IMMER die Klammern, also gegen ersetzen)
_Finn__ Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur:
Flo0210 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich verstehe nicht wie ich danach weiterkomme:
f(x+h)=(x+h)^2-(x+h)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

@_Finn__: Ich halte deine Notation für ein wenig fragwürdig.

@Flo0210:

Wir sind bisher soweit:



Kannst du mittlerweile nachvollziehen wie sich dies zusammensetzt?
Fasse den Zähler nun zusammen.
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