Leibniz'sche Kriterium

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winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
Leibniz'sche Kriterium
Hallo, wollte nachfragen, ob ich das richtig argumentiert habe:

a)

1) alternierend: JA
2) Monoton fallend: NICHT für alle x Element der reellen Zahlen!















Bedeutet , ist die Folge monoton fallend....darf man das so beweisen?

3)Nullfolge:



Sandwich Theorem: konvergiert gegen den Grenzwert 0, so muss die eingeschlossene Folge auch gegen den Grenzwert 0 konvergieren.

LEIBNIZ'SCHE KRITERIUM kann nicht angewendet werden für alle, beliebigen reellen Zahlen x.

b)



1)alternierend: JA
2) monoton Fallend: JA, weil
3) Nullfolge: JA, weil

Leibnizkriterium ERFÜLLT! REIHE KONVERGENT

c)

1)alternierend:JA
2)NULLFOLGE: JA
3)MONOTON FALLEND:allerdings gelingt mir der Beweis nicht:









Naja, wäre erlaubt den Limes einzusetzen, sodass n gegen unendlich strebt und Ungleichung dann

lautet?

Danke fürs Kontrollieren!!


[attach]35989[/attach]
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leibniz'sche Kriterium
Zitat:
Original von winki2008
b)

[...]

2) monoton Fallend: JA, weil

NEIN!

Für das Leibniz-Kriterium muss nicht , sondern monoton fallend sein, und das ist es aber nicht. Mit Majoranten kann man hier bei einer solchen alternierenden Reihe allenfalls dann argumentieren, wenn absolute Konvergenz dieser Majorante vorliegt, was hier ebenfalls nicht der Fall ist. unglücklich

D.h., das Leibniz-Kriterium ist hier nicht geeignet, die Konvergenzfrage zu klären.


EDIT: Sie ist dennoch konvergent mit Reihenwert , aber da muss man schon ein wenig rechnen, um dorthin zu kommen. Augenzwinkern
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leibniz'sche Kriterium
Stimmt, danke das du mich darauf aufmerksam gemacht hast...

und wie sieht es mit dem Rest aus, was ich geschrieben habe?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) 1) Für ist die Reihe nicht alternierend.

Bei c) 3) gelingt der Monotonie-Beweis mit etwas mehr Beharrlichkeit sowie Einsatz der Bernoulli-Ungleichung. Eigentlich ein Standardbeispiel aus der Schule, wenn es dort darum geht, einzuführen.


Zitat:
Original von winki2008
Naja, wäre erlaubt den Limes einzusetzen, sodass n gegen unendlich strebt und Ungleichung dann

lautet?

Mit dieser "Beweistaktik" beweise ich dir auch :

" gilt, weil ja im Grenzwert dort steht."

Dann potenziert man mit , und subtrahiert anschließend :



. Finger1
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